Langkah-langkah :
\[\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+\tan x} - \sqrt{1+\sin x}}{x^3} \cdot \frac{\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+\sin x}}{\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+\sin x}} \] \[\lim_{x \to 0}\frac{(1+\tan x) - (1+\sin x)}{x^3(\sqrt{1+\tan x}) + (\sqrt{1+\sin x})} \] \[\lim_{x \to 0}\frac{\tan x - \sin x}{x^3(\sqrt{1+\tan x}) + (\sqrt{1+\sin x})} \] Sederhanakan pembilang: \(\tan x - \sin x = \frac{\sin x}{\cos x}- \sin x = \sin x(\frac{1}{\cos x}-1)= \sin x(\frac{1- \cos x}{\cos x})\)
\[\lim_{x \to 0}\frac{\sin x(\frac{1- \cos x}{\cos x})}{x^3(\sqrt{1+\tan x}) + (\sqrt{1+\sin x})} \] Kemudian penyebut dan pembilang dikalikan dengan \(\cos x\)
sehingga menjadi :\[\lim_{x \to 0}\frac{\sin x(1- \cos x )} {x^3\cos x(\sqrt{1+\tan x}) + (\sqrt{1+\sin x})} \]
Gunakan limit dasar:
\(\bullet \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1\)
\(\bullet\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}\)
\(\bullet\lim_{x \to 0}\cos x =1\)
\(\bullet\lim_{x \to 0}\sqrt{1+\tan x}=1\)
\(\bullet\lim_{x \to 0}\sqrt{1+\sin x}=1\)
Substitusikan ke limit: \[\lim_{x \to 0}\frac{\sin x(1- \cos x )} {x^3\cos x(\sqrt{1+\tan x}) + (\sqrt{1+\sin x})} \] \[=\frac{1\times \frac {1}2}{1\times(1+1)}\] \[=\frac{\frac{1}2}{2}\] \[=\frac{1}{4}\]
a) Tentukan \(\lim_{x \to 2^+} g(x)\)
Langkah-langkah:
Perhatikan bahwa \[x^2-4=(x-2)(x+2)\]
Jika \(x > 2^+, maka\ x > 2\) sehingga \(|x-2|=x-2\) \[g(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}\] \[=(x+2)\] Jadi: \[lim_{x \to 2^+}g(x)=lim_{x \to 2^+}=2+2=4\] b) Tentukan \(\lim_{x \to 2^-} g(x)\)
Langkah-langkah:
Jika \(x < 2^-, maka\ x < 2\ sehingga\ |x-2|=-(x-2)\) \[g(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{-(x-2)}\] \[=-(x+2)\] Jadi: \[lim_{x \to 2^-}g(x)=lim_{x \to 2^-}=-(2+2)=-4\] c) Tentukan apakah \(\lim_{x \to 2} g(x)\) ada?
Langkah-langkah:
Dari bagian a) kita dapatkan \(lim_{x \to 2^+}=4\) dan dari bagian b) kita dapatkan \(lim_{x \to 2^-}=-4\)
Limit suatu fungsi di suatu titik dikatakan ada jika dan hanya jika limit kiri dan limit kanan di titik tersebut ada dan nilainya sama. Dalam kasus ini, limit kanan (4) dan limit kiri (-4) tidak sama, sehingga limit dua sisi di (x = 2) tidak ada.