Eksplorasi Data Multivariat: Matriks, EigenVektor, dan Jarak
Kevin Pranandika Saputri Sejati
2025-09-10
— RANGKUMAN MATERI —
1. Operasi Matriks
Teori
Matriks adalah susunan bilangan berbentuk baris dan kolom. Operasi dasar:
- Penjumlahan / pengurangan: dilakukan antar elemen posisi
sama.
- Perkalian matriks: \(C = A \times
B\), hanya jika kolom A = baris B.
Rumus: \(c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}
b_{kj}\)
- Perkalian elemen (Hadamard product): \(C = A
\odot B\).
- Transpose: \(A^T\), menukar baris
jadi kolom.
- Inverse: \(A^{-1}\) hanya ada jika
\(\det(A) \neq 0\).
- Determinan: memberi informasi apakah matriks singular.
Syntax & Output
X = matrix(c(7.2, 6.5, 8.0,
5.8, 7.3, 6.9,
8.4, 7.1, 9.0), nrow = 3, ncol = 3, byrow = TRUE) ;X## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 7.2 6.5 8.0
## [2,] 5.8 7.3 6.9
## [3,] 8.4 7.1 9.0Y = matrix(c(6.9, 7.8, 8.2,
7.5, 6.4, 7.1,
8.7, 7.9, 6.8), nrow = 3, ncol = 3, byrow = TRUE) ;Y## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 6.9 7.8 8.2
## [2,] 7.5 6.4 7.1
## [3,] 8.7 7.9 6.8# Penjumlahan Matriks
X + Y## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 14.1 14.3 16.2
## [2,] 13.3 13.7 14.0
## [3,] 17.1 15.0 15.8Y + X## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 14.1 14.3 16.2
## [2,] 13.3 13.7 14.0
## [3,] 17.1 15.0 15.8# Pengurangan Matriks
X - Y## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 0.3 -1.3 -0.2
## [2,] -1.7 0.9 -0.2
## [3,] -0.3 -0.8 2.2Y - X## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -0.3 1.3 0.2
## [2,] 1.7 -0.9 0.2
## [3,] 0.3 0.8 -2.2# Perkalian antar Matriks
X %*% Y## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 168.03 160.96 159.59
## [2,] 154.80 146.47 146.31
## [3,] 189.51 182.06 180.49Y %*% X## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 163.80 160.01 182.82
## [2,] 150.76 145.88 168.06
## [3,] 165.58 162.50 185.31# Perkalian antar Elemen Matriks
X*Y## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 49.68 50.70 65.60
## [2,] 43.50 46.72 48.99
## [3,] 73.08 56.09 61.202*X## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 14.4 13.0 16.0
## [2,] 11.6 14.6 13.8
## [3,] 16.8 14.2 18.0# Transpose Matriks
transX = t(X); transX## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 7.2 5.8 8.4
## [2,] 6.5 7.3 7.1
## [3,] 8.0 6.9 9.0transY = t(Y); transY## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 6.9 7.5 8.7
## [2,] 7.8 6.4 7.9
## [3,] 8.2 7.1 6.8# Invers Matriks
inv_X = solve(X); inv_X## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -4.961401 0.5047506 4.0231591
## [2,] -1.710214 0.7125891 0.9738717
## [3,] 5.979810 -1.0332542 -4.4121140inv_Y = solve(Y); inv_Y## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -0.4734998 0.4422345 0.1092402
## [2,] 0.4056956 -0.9198780 0.4712397
## [3,] 0.1344785 0.5028817 -0.5401740# Determinan Matriks
det(X)## [1] -3.368det(Y)## [1] 26.547Cara Lain Penulisan Pembuatan Matriks
## Menamakan Matriks X dan Y sebagai
## Matriks Skor Kinerja Karyawan
# Matriks X: skor kinerja 3 karyawan di 3 proyek
nilai_X <- c(7.2, 6.5, 8.0,
5.8, 7.3, 6.9,
8.4, 7.1, 9.0)
X <- matrix(nilai_X, nrow = 3, ncol = 3, byrow = TRUE,
dimnames = list(c("Karyawan_A","Karyawan_B","Karyawan_C"),
c("Proyek1","Proyek2","Proyek3"))) ; X## Proyek1 Proyek2 Proyek3
## Karyawan_A 7.2 6.5 8.0
## Karyawan_B 5.8 7.3 6.9
## Karyawan_C 8.4 7.1 9.0# Matriks Y: skor penilaian alternatif
nilai_Y <- c(6.9, 7.8, 8.2,
7.5, 6.4, 7.1,
8.7, 7.9, 6.8)
Y <- matrix(nilai_Y, nrow = 3, ncol = 3, byrow = TRUE,
dimnames = list(c("Karyawan_A","Karyawan_B","Karyawan_C"),
c("Proyek1","Proyek2","Proyek3"))) ; Y## Proyek1 Proyek2 Proyek3
## Karyawan_A 6.9 7.8 8.2
## Karyawan_B 7.5 6.4 7.1
## Karyawan_C 8.7 7.9 6.8Interpretasi
Hasil operasi matriks memberikan gambaran tentang skor kinerja tiga karyawan pada tiga proyek berbeda. Pada operasi penjumlahan X+Y, terlihat bahwa skor digabungkan antar dua matriks menghasilkan nilai yang lebih besar, dan sifat komutatif terbukti karena X+Y=Y+X. Sebaliknya, pengurangan X−Y dan Y−X menghasilkan nilai yang berbeda, menegaskan sifat tidak komutatif pada operasi pengurangan. Pada perkalian matriks X%∗%Y dan Y%∗%X, hasilnya berbeda karena urutan memengaruhi kombinasi linear antar baris dan kolom, ini menunjukkan bahwa perkalian matriks juga tidak komutatif. Untuk perkalian antar elemen X∗Y, skor tiap proyek dikalikan langsung sesuai posisinya, sedangkan 2∗X menunjukkan skala nilai ganda dari matriks X. Operasi transpose t(X) dan t(Y) menukar baris menjadi kolom, yang berguna untuk mengubah sudut pandang data. Invers matriks solve(X) dan solve(Y) dapat dihitung karena determinan keduanya tidak nol (meskipun det(X) = −3.368 relatif kecil, sedangkan det(Y) = 26.547), menandakan bahwa matriks X dan Y tidak singular dan dapat digunakan dalam penyelesaian sistem persamaan linear. Secara konteks dalam kasus yang diangkat, berarti skor kinerja karyawan dapat ditransformasi atau dianalisis lebih lanjut, misalnya membandingkan efektivitas karyawan berdasarkan kombinasi proyek.
2. Pemanggilan Elemen Matriks
Teori
Matriks dapat diakses dengan indeks [baris, kolom]:
- \(A[i,j]\): elemen baris $i$, kolom \(j\).
- \(A[i,]\): semua kolom pada baris \(i\).
- \(A[,j]\): semua baris pada kolom \(j\).
Syntax
A <- matrix(21:40, nrow=4, ncol=5)
A## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,] 21 25 29 33 37
## [2,] 22 26 30 34 38
## [3,] 23 27 31 35 39
## [4,] 24 28 32 36 40A[,2] # kolom ke-2## [1] 25 26 27 28A[3,] # baris ke-3## [1] 23 27 31 35 39A[3,2] # elemen baris 3 kolom 2## [1] 27A[c(1,3),2] # elemen (1,2) dan (3,2)## [1] 25 27Interpretasi
Matriks A berukuran 4 × 5 dengan elemen dari 21 hingga 40. Dari
matriks ini, pemanggilan kolom ke-2 dengan sintaks
A[,2] menghasilkan vektor [25,26,27,28], yaitu seluruh
nilai pada kolom kedua. Pemanggilan baris ke-3 dengan
A[3,] menghasilkan [23,27,31,35,39], yaitu semua elemen
pada baris ketiga. Jika hanya satu elemen tertentu yang ingin diambil,
misalnya baris ke-3 kolom ke-2 (A[3,2]),
hasilnya adalah 27. Selain itu, pemanggilan bisa
dilakukan pada beberapa posisi sekaligus, misalnya
A[c(1,3),2] mengambil elemen baris ke-1 kolom ke-2 (25) dan
baris ke-3 kolom ke-2 (27). Dengan demikian, teknik indexing ini
memungkinkan pemanggilan praktis ke seluruh baris, seluruh kolom, elemen
tunggal, maupun elemen tertentu yang dipilih dari sebuah matriks.
3. Eigen Value & Eigen Vector
Teori
- Eigenvalue ( \(\lambda\) ): besarnya variasi yang dijelaskan komponen.
- Eigenvector ( \(v\) ): arah komponen (sumbu baru). Rumus: \(Av = \lambda v\)
Syntax
eigX = eigen(X)
eigX$values## [1] 22.1778779 1.4284363 -0.1063142eigX$vectors## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -0.5669190 0.2689477 -0.6486550
## [2,] -0.5180512 -0.8332857 -0.1807867
## [3,] -0.6404888 0.4830135 0.7392989Interpretasi
Matriks X memiliki tiga eigen value yaitu 22.18, 1.43, dan −0.11, yang menunjukkan bahwa variasi data paling besar dijelaskan oleh komponen pertama, sedangkan komponen kedua hanya berkontribusi kecil dan komponen ketiga nyaris tidak signifikan. Eigen vector yang menyertainya menunjukkan arah kombinasi linear variabel asal, misalnya eigen vector pertama (−0.57,−0.52,−0.64) merepresentasikan arah dominan variasi data. Artinya, dalam konteks skor kinerja karyawan, terdapat satu kombinasi skor proyek yang paling menentukan perbedaan antar karyawan, sementara kombinasi lainnya memiliki pengaruh jauh lebih kecil.
4. Singular Value Decomposition (SVD)
Teori
SVD memecah matriks \(A_{m \times n}\) menjadi: \(A = U \Sigma V^T\)
- \(U\): matriks ortogonal (\(AA^T\)).
- \(\Sigma\): singular values.
- \(V\): matriks ortogonal (\(A^TA\)).
Syntax
A <- matrix(c(5,-3,6,2,-4,8,-2,5,-1,7,3,9), 4, 3, byrow = TRUE)
svd_result <- svd(A)
svd_result$d## [1] 16.07076 7.41936 3.11187svd_result$u## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -0.5046975 0.2278362 -0.3742460
## [2,] -0.5178195 0.4138180 0.7413297
## [3,] 0.1646416 -0.6063789 0.5337354
## [4,] -0.6708477 -0.6396483 -0.1596770svd_result$v## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -0.5341591 -0.17494276 -0.8270847
## [2,] 0.1490928 -0.98251336 0.1115295
## [3,] -0.8321330 -0.06373793 0.5509011Interpretasi
Hasil dekomposisi SVD matriks A menghasilkan tiga singular value yaitu 16.07, 7.42, dan 3.11, yang menggambarkan besarnya kontribusi masing-masing komponen dalam menjelaskan struktur data, dengan komponen pertama jauh lebih dominan dibandingkan dua lainnya. Matriks U menunjukkan kombinasi linear dari baris-baris A dalam basis baru, sementara matriks V merepresentasikan kombinasi linear kolom-kolom A. Dengan demikian, SVD ini memperlihatkan bahwa informasi dalam matriks A terutama dapat diringkas oleh komponen utama pertama, sedangkan dua komponen berikutnya berfungsi sebagai penyesuaian terhadap variasi yang lebih kecil.
5. Matriks Jarak
Teori
Jenis ukuran jarak:
A. Euclidean: \(d(x,y) = \sqrt{\sum (x\_i - y\_i)^2}\)
Jarak Euclidean adalah jarak paling umum dan intuitif, didefinisikan sebagai akar kuadrat dari jumlah kuadrat perbedaan antar koordinat. Konsepnya sama seperti jarak lurus yang diukur dengan penggaris di bidang dua atau tiga dimensi. Jarak ini cocok digunakan pada data yang berskala seragam. Namun, jika ada variabel dengan skala besar, Euclidean bisa bias karena variabel tersebut akan mendominasi hasil perhitungan.
B. Manhattan: \(d(x,y) = \sum |x_i - y_i|\)
Jarak Manhattan disebut juga city block distance, karena menghitung jarak seperti bergerak di sepanjang jalan kota berbentuk grid hanya melalui jalur horizontal dan vertikal tanpa diagonal. Nilainya diperoleh dari jumlah perbedaan absolut antar koordinat. Ukuran ini lebih tahan terhadap outlier dibanding Euclidean, sehingga banyak digunakan dalam analisis teks (berdasarkan frekuensi kata) maupun sistem transportasi dalam kota.
C. Chebyshev: \(d(x,y) = \max |x_i - y_i|\)
Jarak Chebyshev mengukur perbedaan dengan melihat selisih terbesar dari semua dimensi. Dengan kata lain, jarak ini ditentukan oleh dimensi dengan perbedaan paling ekstrem. Ukuran ini sering dipakai dalam quality control multivariat, misalnya ketika hanya dimensi terburuk dari sebuah produk yang dianggap kritis.
D. Mahalanobis: \(d(x,y) = \sqrt{(x-y)^T S^{-1} (x-y)}\)
Jarak Mahalanobis memperhitungkan varians dan korelasi antar variabel. Tidak seperti Euclidean yang mengasumsikan semua variabel independen dan setara, Mahalanobis menyesuaikan skala dengan matriks kovarians data. Dengan cara ini, dapat dibedakan jarak yang “nyata” pada data berkorelasi. Ukuran ini banyak digunakan untuk deteksi outlier multivariat dan analisis diskriminan, misalnya dalam mendeteksi transaksi keuangan yang mencurigakan.
E. Minkowski: generalisasi, \(p=1\) (Manhattan), \(p=2\) (Euclidean).
Jarak Minkowski merupakan generalisasi dari Euclidean dan Manhattan. Terdapat parameter p yang dapat diatur: jika p=1 hasilnya sama dengan Manhattan, jika p=2 sama dengan Euclidean, dan jika p→∞ hasilnya mendekati Chebyshev. Karena sifat fleksibelnya, Minkowski digunakan ketika peneliti ingin menyesuaikan ukuran jarak dengan karakteristik data tertentu.
Syntax
A. Jarak Euclidean
Contoh aplikasi:
- Menghitung jarak antar dua kota berdasarkan koordinat GPS.
- Clustering (misalnya K-Means).
# Contoh data sederhana: tinggi dan berat 5 orang
df <- data.frame(
Tinggi = c(165, 170, 175, 180, 160),
Berat = c(55, 70, 65, 80, 50)
)
# Skala agar perbandingan fair
df.scaled <- scale(df)
# Euclidean Distance
library(factoextra)## Warning: package 'factoextra' was built under R version 4.4.3## Loading required package: ggplot2## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 4.4.3## Welcome! Want to learn more? See two factoextra-related books at https://goo.gl/ve3WBadist.eucl <- dist(df.scaled, method = "euclidean"); dist.eucl## 1 2 3 4
## 2 1.4067506
## 3 1.5171534 0.7585767
## 4 2.8259450 1.5171534 1.4067506
## 5 0.7585767 2.0992898 2.2757301 3.5659206fviz_dist(dist.eucl)
B. Jarak Manhattan
Contoh aplikasi:
- Jalur pergerakan robot di gudang (hanya bisa maju, mundur, kiri, kanan).
- Mengukur jarak antar dokumen berdasarkan frekuensi kata.
# Manhattan Distance
dist.man <- dist(df.scaled, method = "manhattan"); dist.man## 1 2 3 4
## 2 1.889017
## 3 2.102619 1.051309
## 4 3.991636 2.102619 1.889017
## 5 1.051309 2.940327 3.153928 5.042946fviz_dist(dist.man)
C. Jarak Chebyshev
Contoh aplikasi:
- Jarak langkah raja dalam catur.
- Quality control: mengecek dimensi produk (panjang, lebar, tinggi) → fokus pada dimensi terburuk.
# Chebyshev Distance (maximum)
dist.cheb <- dist(df.scaled, method = "maximum"); dist.cheb## 1 2 3 4
## 2 1.2565617
## 3 1.2649111 0.6324555
## 4 2.0942695 1.2649111 1.2565617
## 5 0.6324555 1.6754156 1.8973666 2.5298221fviz_dist(dist.cheb)
D. Jarak Mahalanobis
Contoh aplikasi:
- Deteksi outlier (misalnya transaksi keuangan yang mencurigakan).
- Analisis diskriminan: memisahkan kelompok dengan varians berbeda.
library(StatMatch)## Warning: package 'StatMatch' was built under R version 4.4.3## Loading required package: proxy## Warning: package 'proxy' was built under R version 4.4.3##
## Attaching package: 'proxy'## The following objects are masked from 'package:stats':
##
## as.dist, dist## The following object is masked from 'package:base':
##
## as.matrix## Loading required package: survey## Warning: package 'survey' was built under R version 4.4.3## Loading required package: grid## Loading required package: Matrix## Loading required package: survival##
## Attaching package: 'survey'## The following object is masked from 'package:graphics':
##
## dotchart## Loading required package: lpSolve## Warning: package 'lpSolve' was built under R version 4.4.2## Loading required package: dplyr## Warning: package 'dplyr' was built under R version 4.4.3##
## Attaching package: 'dplyr'## The following objects are masked from 'package:stats':
##
## filter, lag## The following objects are masked from 'package:base':
##
## intersect, setdiff, setequal, union# Mahalanobis Distance
dist.mah <- mahalanobis.dist(df.scaled); dist.mah## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,] 0.0000000 1.897367 1.549193 2.097618 0.7745967
## [2,] 1.8973666 0.000000 2.756810 1.549193 1.8439089
## [3,] 1.5491933 2.756810 0.000000 1.897367 2.3237900
## [4,] 2.0976177 1.549193 1.897367 0.000000 2.5690465
## [5,] 0.7745967 1.843909 2.323790 2.569047 0.0000000dist.mah_matrix <- as.matrix(dist.mah); dist.mah_matrix## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,] 0.0000000 1.897367 1.549193 2.097618 0.7745967
## [2,] 1.8973666 0.000000 2.756810 1.549193 1.8439089
## [3,] 1.5491933 2.756810 0.000000 1.897367 2.3237900
## [4,] 2.0976177 1.549193 1.897367 0.000000 2.5690465
## [5,] 0.7745967 1.843909 2.323790 2.569047 0.0000000E. Jarak Minkowski
Contoh aplikasi:
- Fleksibel dipakai untuk memilih ukuran jarak sesuai kebutuhan algoritma.
# Data random: 5 observasi dengan 3 variabel
set.seed(42)
data <- matrix(runif(15, min = 1, max = 10), nrow = 5, ncol = 3)
colnames(data) <- c("X1", "X2", "X3"); data## X1 X2 X3
## [1,] 9.233254 5.671864 5.119676
## [2,] 9.433679 7.629295 7.472010
## [3,] 3.575256 2.211999 9.412050
## [4,] 8.474029 6.912931 3.298859
## [5,] 6.775710 7.345583 5.160635# Pilih 2 titik
p1 <- data[1, ]; p1## X1 X2 X3
## 9.233254 5.671864 5.119676p2 <- data[2, ]; p2## X1 X2 X3
## 9.433679 7.629295 7.472010# Fungsi Minkowski
minkowski_distance <- function(x, y, p) {
sum(abs(x - y)^p)^(1/p)
}
# Hitung dengan p=1,2,3,∞
dist_p1 <- minkowski_distance(p1, p2, p=1); dist_p1## [1] 4.51019dist_p2 <- minkowski_distance(p1, p2, p=2); dist_p2## [1] 3.066787dist_p3 <- minkowski_distance(p1, p2, p=3); dist_p3## [1] 2.737947dist_inf <- max(abs(p1 - p2)); dist_inf## [1] 2.352334Interpretasi
Hasil perhitungan jarak Euclidean menunjukkan bahwa individu 1 dan 5 memiliki jarak terdekat (0,76) sehingga profil tinggi dan berat mereka paling mirip, diikuti pasangan 2 dan 3 (0,76) serta 3 dan 4 (1,41), sedangkan jarak terbesar muncul antara individu 4 dan 5 (3,57) yang berarti keduanya paling berbeda; secara keseluruhan matriks jarak ini menggambarkan tingkat kemiripan relatif antarindividu berdasarkan kombinasi tinggi dan berat setelah distandardisasi.
Hasil perhitungan jarak Manhattan menunjukkan bahwa individu 1 dan 5 kembali menjadi pasangan paling mirip (1,05), sementara individu 4 dan 5 memiliki jarak terbesar (5,04) sehingga keduanya paling berbeda. Pola ini konsisten dengan Euclidean Distance, tetapi nilai jarak Manhattan umumnya lebih besar karena menjumlahkan selisih absolut tiap variabel, sehingga memberikan penekanan lebih pada perbedaan total tinggi dan berat antar individu.
Hasil perhitungan jarak Chebyshev menunjukkan bahwa individu 1 dan 5 kembali paling mirip dengan jarak 0,63, sedangkan individu 4 dan 5 paling berbeda dengan jarak 2,53 berbeda dengan Euclidean dan Manhattan yang menjumlahkan perbedaan, Chebyshev hanya mengambil selisih maksimum pada satu variabel, sehingga interpretasinya menekankan perbedaan terbesar yang muncul di antara tinggi atau berat tanpa memperhatikan akumulasi selisih pada variabel lain.
Hasil perhitungan jarak Mahalanobis menunjukkan bahwa individu 1 dan 5 memiliki kemiripan paling tinggi (jarak 0,77), sementara perbedaan terbesar muncul antara individu 2 dan 3 (jarak 2,76) berbeda dengan Euclidean, Manhattan, atau Chebyshev, Mahalanobis memperhitungkan kovariansi antarvariabel, sehingga hasilnya lebih sensitif terhadap pola hubungan antara tinggi dan berat, bukan hanya selisih nilai mentahnya.
Hasil perhitungan Minkowski menunjukkan bahwa jarak antara titik 1 dan 2 bervariasi tergantung nilai pp: pada p=1 (Manhattan) jarak relatif besar (4,51), pada p=2p=2 (Euclidean) mengecil menjadi 3,07, pada p=3p=3 lebih kecil lagi (2,74), dan pada p=∞ Chebyshev hanya ditentukan oleh selisih maksimum antar-koordinat yaitu 2,35. Hal ini menegaskan bahwa semakin besar nilai p, jarak Minkowski lebih menekankan pada perbedaan terbesar daripada penjumlahan keseluruhan selisih.
6. Vektor Rata-Rata, Kovarians, dan Korelasi
Teori
- Rata-rata: \(\bar{x} = \frac{1}{n}\sum x_i\)
- Kovarians: \(Cov(X,Y) = \frac{1}{n-1}\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})\)
- Korelasi: \(Cor(X,Y) = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma\_X \sigma\_Y}\)
Syntax
# Data: Berat Badan (kg), Jam Belajar (per minggu), Nilai Ujian
BB <- c(55, 60, 62, 58, 65, 70, 72, 68, 75, 80)
JB <- c(10, 12, 14, 11, 13, 15, 16, 14, 18, 20)
NU <- c(65, 70, 72, 68, 75, 80, 82, 78, 85, 90)
mahasiswa <- cbind(BB, JB, NU); mahasiswa## BB JB NU
## [1,] 55 10 65
## [2,] 60 12 70
## [3,] 62 14 72
## [4,] 58 11 68
## [5,] 65 13 75
## [6,] 70 15 80
## [7,] 72 16 82
## [8,] 68 14 78
## [9,] 75 18 85
## [10,] 80 20 90# Rata-rata tiap variabel
colMeans(mahasiswa)## BB JB NU
## 66.5 14.3 76.5# Kovarians antar variabel
cov(mahasiswa)## BB JB NU
## BB 63.16667 23.944444 63.16667
## JB 23.94444 9.566667 23.94444
## NU 63.16667 23.944444 63.16667# Korelasi antar variabel
cor(mahasiswa)## BB JB NU
## BB 1.0000000 0.9740482 1.0000000
## JB 0.9740482 1.0000000 0.9740482
## NU 1.0000000 0.9740482 1.0000000Interpretasi
Hasil analisis menunjukkan bahwa rata-rata berat badan mahasiswa adalah 66,5 kg, rata-rata jam belajar 14,3 jam per minggu, dan rata-rata nilai ujian 76,5. Nilai kovarians antarvariabel relatif besar dan positif, misalnya antara berat badan dan nilai ujian sebesar 63,17, yang berarti peningkatan berat badan cenderung diikuti kenaikan nilai ujian, demikian pula dengan jam belajar. Korelasi juga sangat kuat dan positif, dengan nilai 1,00 antara berat badan dan nilai ujian (hubungan linier sempurna) serta 0,97 antara jam belajar dan kedua variabel lainnya. Secara keseluruhan, data ini menggambarkan adanya hubungan linier yang sangat erat antar ketiga variabel, di mana mahasiswa dengan berat badan lebih tinggi umumnya memiliki jam belajar lebih banyak dan nilai ujian yang lebih tinggi.
— IMPLEMENTASI (STUDI KASUS) —
Data nilai 5 mahasiswa pada 3 mata kuliah: Matematika, Statistika, Pemrograman.
nilai <- matrix(c(
80, 85, 78, 90, 88, # Matematika
75, 82, 79, 85, 80, # Statistika
85, 88, 80, 92, 86 # Pemrograman
), nrow = 5, ncol = 3)
colnames(nilai) <- c("Matematika", "Statistika", "Pemrograman")
rownames(nilai) <- paste("Mhs", 1:5, sep="")
nilai## Matematika Statistika Pemrograman
## Mhs1 80 75 85
## Mhs2 85 82 88
## Mhs3 78 79 80
## Mhs4 90 85 92
## Mhs5 88 80 861. Operasi Matriks
bobot <- matrix(c(
0.4, 0.3, 0.3,
0.3, 0.5, 0.2,
0.2, 0.2, 0.6
), nrow=3, ncol=3, byrow=TRUE)
nilai + 5 # menambah semua nilai 5 poin## Matematika Statistika Pemrograman
## Mhs1 85 80 90
## Mhs2 90 87 93
## Mhs3 83 84 85
## Mhs4 95 90 97
## Mhs5 93 85 91nilai %*% bobot # perkalian matriks## [,1] [,2] [,3]
## Mhs1 71.5 78.5 90.0
## Mhs2 76.2 84.1 94.7
## Mhs3 70.9 78.9 87.2
## Mhs4 79.9 87.9 99.2
## Mhs5 76.4 83.6 94.0det(bobot) # determinan## [1] 0.05solve(bobot) # invers## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 5.2 -2.4 -1.8
## [2,] -2.8 3.6 0.2
## [3,] -0.8 -0.4 2.22. Pemanggilan Elemen Matriks
nilai[1,] # semua nilai Mhs1## Matematika Statistika Pemrograman
## 80 75 85nilai[,2] # semua nilai Statistika## Mhs1 Mhs2 Mhs3 Mhs4 Mhs5
## 75 82 79 85 80nilai[3,1] # nilai Matematika Mhs3## [1] 78nilai[2:4, ] # subset mahasiswa 2-4## Matematika Statistika Pemrograman
## Mhs2 85 82 88
## Mhs3 78 79 80
## Mhs4 90 85 923. Eigen Value & Eigen Vector
eig_nilai <- eigen(cov(nilai))
eig_nilai$values## [1] 51.333892 5.008961 2.757147eig_nilai$vectors## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 0.6940163 0.1420581 0.7058051
## [2,] 0.4368001 -0.8623831 -0.2559318
## [3,] 0.5723172 0.4859166 -0.66055894. Singular Value Decomposition (SVD)
svd_nilai <- svd(scale(nilai))
svd_nilai$d## [1] 3.193294 1.144567 0.702028svd_nilai$u## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -0.4465918 0.70271013 -0.28966072
## [2,] 0.1881718 -0.12179775 -0.31587282
## [3,] -0.5401021 -0.67662526 -0.00106076
## [4,] 0.6773060 -0.07247966 -0.25899352
## [5,] 0.1212161 0.16819255 0.86558781svd_nilai$v## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 0.5973539 0.2329929 0.7673869
## [2,] 0.5529789 -0.8126910 -0.1837051
## [3,] 0.5808464 0.5340857 -0.61430435. Matriks Jarak
dist.eucl <- dist(scale(nilai), method="euclidean")
dist.man <- dist(scale(nilai), method="manhattan")
dist.cheb <- dist(scale(nilai), method="maximum")
library(StatMatch)
dist.mah <- mahalanobis.dist(scale(nilai))
dist.eucl## Mhs1 Mhs2 Mhs3 Mhs4
## Mhs2 2.2359765
## Mhs3 1.6194562 2.4208463
## Mhs4 3.6970458 1.5634788 3.9527105
## Mhs5 2.0783765 0.9185944 2.4009970 1.9627759dist.man## Mhs1 Mhs2 Mhs3 Mhs4
## Mhs2 3.552685
## Mhs3 2.612507 4.003820
## Mhs4 6.252902 2.700217 6.704036
## Mhs5 3.142005 1.582877 3.593140 3.110897dist.cheb## Mhs1 Mhs2 Mhs3 Mhs4
## Mhs2 1.8912013
## Mhs3 1.1410887 1.8257419
## Mhs4 2.7017161 0.9768308 2.7386128
## Mhs5 1.5629293 0.5860985 1.9536617 1.3693064dist.mah[1:5,1:5]## Mhs1 Mhs2 Mhs3 Mhs4 Mhs5
## Mhs1 0.000000 2.0817542 2.824606 2.7313045 2.787626
## Mhs2 2.081754 0.0000000 1.936309 0.9897875 2.436741
## Mhs3 2.824606 1.9363090 0.000000 2.7666614 2.758361
## Mhs4 2.731304 0.9897875 2.766661 0.0000000 2.554872
## Mhs5 2.787626 2.4367410 2.758361 2.5548716 0.0000006. Vektor Rata-Rata, Kovarians, dan Korelasi
colMeans(nilai)## Matematika Statistika Pemrograman
## 84.2 80.2 86.2cov(nilai)## Matematika Statistika Pemrograman
## Matematika 26.20 14.45 19.45
## Statistika 14.45 13.70 11.20
## Pemrograman 19.45 11.20 19.20cor(nilai)## Matematika Statistika Pemrograman
## Matematika 1.0000000 0.7627056 0.8671982
## Statistika 0.7627056 1.0000000 0.6905691
## Pemrograman 0.8671982 0.6905691 1.00000007. Interpretasi & Kesimpulan
Hasil analisis matriks nilai mahasiswa menunjukkan bahwa rata-rata nilai tertinggi ada pada mata kuliah Pemrograman (86,2), disusul Matematika (84,2), dan Statistika (80,2), yang menggambarkan kecenderungan performa mahasiswa lebih baik pada aspek praktis. Kovarians dan korelasi menunjukkan hubungan positif cukup kuat antar mata kuliah, dengan korelasi tertinggi antara Matematika dan Pemrograman (0,867), yang menandakan mahasiswa yang kuat di Matematika cenderung juga berprestasi di Pemrograman. Perhitungan eigenvalue dari matriks kovarians menghasilkan satu komponen utama dominan (51,33) yang mengindikasikan adanya dimensi latar belakang yang menjelaskan sebagian besar variasi nilai, sedangkan SVD memperkuat bahwa pola dominan nilai mahasiswa cukup terkonsentrasi pada satu arah utama. Analisis jarak (Euclidean, Manhattan, Chebyshev, dan Mahalanobis) memperlihatkan variasi kedekatan performa antar mahasiswa, misalnya Mhs2 dan Mhs5 yang paling mirip, sedangkan Mhs3 relatif lebih berbeda dari lainnya.
Secara keseluruhan, dapat disimpulkan bahwa performa mahasiswa antar mata kuliah saling terkait dengan kekuatan utama pada Matematika dan Pemrograman, serta pola nilai antar mahasiswa menunjukkan adanya kelompok dengan kedekatan performa akademik yang cukup jelas.