Berikut adalah jawaban Kelompok 2 pada Tugas Kelompok materi Kalkulus 1

Soal 1

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+\tan x} - \sqrt{1+\sin x}}{x^3} \]

Langkah 1: Rasionalisasi

Kalikan dengan sekawan pembilang:

\[ \frac{\sqrt{1+\tan x} - \sqrt{1+\sin x}}{x^3} \cdot \frac{\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+\sin x}}{\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+\sin x}} \]

Hasilnya:

\[ = \frac{(1+\tan x) - (1+\sin x)}{x^3 \big(\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+\sin x}\big)} \]

Sederhanakan:

\[ = \frac{\tan x - \sin x}{x^3 \big(\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+\sin x}\big)} \]

Langkah 2: Perluasan deret Maclaurin

Untuk \(x \to 0\):

  • \(\tan x = x + \tfrac{1}{3}x^3 + O(x^5)\)
  • \(\sin x = x - \tfrac{1}{6}x^3 + O(x^5)\)

Maka:

\[ \tan x - \sin x = \left(x + \tfrac{1}{3}x^3\right) - \left(x - \tfrac{1}{6}x^3\right) + O(x^5) = \tfrac{1}{2} x^3 + O(x^5) \]

Langkah 3: Substitusi ke ekspresi

\[ \frac{\tan x - \sin x}{x^3 \big(\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+\sin x}\big)} \approx \frac{\tfrac{1}{2}x^3}{x^3 \cdot (\sqrt{1+0} + \sqrt{1+0})} = \frac{\tfrac{1}{2}}{2} = \tfrac{1}{4} \]

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+\tan x} - \sqrt{1+\sin x}}{x^3} = \tfrac{1}{4} \]

Soal 2

\[ g(x) = \frac{x^2 - 4}{|x-2|} \]

Langkah 1: Faktorisasi pembilang

\[ x^2 - 4 = (x-2)(x+2) \]

Sehingga:

\[ g(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{|x-2|} \]

Langkah 2: Pecah kasus sesuai tanda \((x-2)\)

  1. Jika \(x > 2\), maka \(|x-2| = x-2\).

    \[ g(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 \]

  2. Jika \(x < 2\), maka \(|x-2| = -(x-2)\).

    \[ g(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{-(x-2)} = -(x+2) \]

Langkah 3: Hitung limit kanan

Untuk \(x \to 2^+\):

\[ g(x) = x+2 \implies \lim_{x \to 2^+} g(x) = 2+2 = 4 \]

Langkah 4: Hitung limit kiri

Untuk \(x \to 2^-\):

\[ g(x) = -(x+2) \implies \lim_{x \to 2^-} g(x) = -(2+2) = -4 \]

Langkah 5: Kesimpulan

Karena:

\[ \lim_{x \to 2^+} g(x) = 4, \quad \lim_{x \to 2^-} g(x) = -4 \]

dan hasilnya tidak sama, maka:

\[ \lim_{x \to 2} g(x) \quad \text{TIDAK ADA}. \]