Distribuciones de Probabilidad en R

Introducción

Las distribuciones de probabilidad discretas son modelos matemáticos que permiten describir fenómenos aleatorios en los cuales la variable aleatoria toma valores enteros. Cada distribución posee una función de probabilidad (f), una función de distribución acumulada (F), así como medidas de tendencia central y dispersión, entre ellas la esperanza matemática E[X] y la varianza V[X].

En este documento se estudiarán cuatro distribuciones discretas de gran importancia en probabilidad y estadística:

1. Distribución Geométrica: describe el número de ensayos hasta obtener el primer éxito.
   
2. Distribución de Poisson: modela el número de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo o espacio.
   
3. Distribución Binomial Negativa: generaliza la geométrica y modela el número de ensayos necesarios para obtener un número fijo de éxitos.
   
4. Distribución Uniforme Discreta: asigna igual probabilidad a cada valor entero dentro de un rango dado.

Cada distribución se presentará con su fórmula de probabilidad, distribución acumulada, valor esperado, varianza, explicación de la variable aleatoria y un ejemplo práctico en R.

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1. Distribución Geométrica

La distribución geométrica modela el número de ensayos hasta obtener el primer éxito en ensayos de Bernoulli independientes con probabilidad de éxito p.

• Variable aleatoria:
  X = número de ensayos hasta el primer éxito

• Función de probabilidad (pmf):
  f(x) = P(X=x) = (1-p)^(x-1) * p, x = 1,2,3,…

• Función de distribución (cdf):
  F(x) = P(X ≤ x) = 1 - (1-p)^x

• Esperanza:
  E[X] = 1/p

• Varianza:
  V[X] = (1-p)/p^2

Ejemplo en R

p <- 0.3
x <- 1:10
prob <- dgeom(x-1, p)   # en R: dgeom usa "fallos antes del éxito"
plot(x, prob, type="h", lwd=3, col="blue",
     main="Distribución Geométrica", ylab="P(X=x)")

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2. Distribución de Poisson

Se utiliza para modelar el número de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo o espacio dado, con tasa λ.

• Variable aleatoria:
  X = número de eventos en el intervalo

• Función de probabilidad:
  f(x) = P(X=x) = (e^(-λ) * λ^x) / x!, x = 0,1,2,…

• Función de distribución acumulada:
  F(x) = P(X ≤ x) = Σ[k=0..x] (e^(-λ) * λ^k) / k!

• Esperanza:
  E[X] = λ

• Varianza:
  V[X] = λ

Ejemplo en R

lambda <- 4
x <- 0:12
prob <- dpois(x, lambda)
plot(x, prob, type="h", lwd=3, col="red",
     main="Distribución de Poisson", ylab="P(X=x)")

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3. Distribución Binomial Negativa

Modela el número de ensayos hasta obtener r éxitos, con probabilidad p de éxito.

• Variable aleatoria:
  X = número de ensayos hasta el r-ésimo éxito

• Función de probabilidad:
  f(x) = P(X=x) = C(x-1, r-1) * p^r * (1-p)^(x-r), x = r, r+1,…

• Función de distribución:
  F(x) = Σ[k=r..x] C(k-1, r-1) * p^r * (1-p)^(k-r)

• Esperanza:
  E[X] = r/p

• Varianza:
  V[X] = r(1-p)/p^2

Ejemplo en R

r <- 3
p <- 0.4
x <- r:(r+15)
prob <- dnbinom(x-r, size=r, prob=p) # en R cuenta "fallos" antes de r éxitos
plot(x, prob, type="h", lwd=3, col="darkgreen",
     main="Distribución Binomial Negativa", ylab="P(X=x)")

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4. Distribución Uniforme Discreta

Todos los valores enteros en un intervalo tienen la misma probabilidad.

• Variable aleatoria:
  X = valor entero en {a, a+1, …, b}

• Función de probabilidad:
  f(x) = 1 / (b-a+1), x = a, a+1,…, b

• Función de distribución:
  F(x) = (⌊x⌋ - a + 1) / (b-a+1), a ≤ x ≤ b

• Esperanza:
  E[X] = (a+b)/2

• Varianza:
  V[X] = ((b-a+1)^2 - 1)/12

Ejemplo en R

a <- 1; b <- 6   # ejemplo: dado justo
x <- a:b
prob <- rep(1/(b-a+1), length(x))
barplot(prob, names.arg=x, col="orange",
        main="Distribución Uniforme Discreta", ylab="P(X=x)")

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Conclusión

Las distribuciones discretas permiten modelar diferentes situaciones de conteo. Con R es posible calcular probabilidades y visualizar fácilmente estas distribuciones.