Introducción

Este documento explica 6 distribuciones discretas importantes: Binomial, Hipergeométrica, Geométrica, Binomial Negativa, Poisson y Uniforme Discreta. Para cada una explicaremos:

  • Qué es la variable aleatoria \(X\).
  • Su función de probabilidad \(f(x)\).
  • Función de distribución acumulada \(F(x)\).
  • Esperanza \(E[X]\) y varianza \(Var(X)\).
  • Ejemplo sencillo con tabla y gráficas.

1. Distribución Binomial

¿Qué es y para qué sirve?
La distribución binomial modela el número de éxitos en \(n\) ensayos independientes idénticos, donde cada ensayo tiene probabilidad \(p\) de éxito. Es útil cuando se repite un experimento un número fijo de veces (por ejemplo, lanzar una moneda varias veces, encuestas con respuestas sí/no, control de calidad).

  • Variable: \(X\) = número de éxitos en n ensayos.
  • Parámetros: \(n\) (ensayos), \(p\) (probabilidad de éxito).
  • Función de probabilidad:
    \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k=0,1,\dots,n. \]
  • Función acumulada: \[ F(x) = P(X \leq x) = \sum_{i=0}^{x} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i} \]
  • Esperanza: \(E[X] = np\)
  • Varianza: \(Var(X)=np(1-p)\)

Ejemplo:

Lanzamos una moneda 10 veces y consideramos “cara” como éxito. Queremos la distribución completa de probabilidades de obtener 0,1,2,…,10 caras. Aquí \(n = 10\) y \(p=0.5\).

Binomial (n = 10, p = 0.5)
Éxitos Probabilidad
0 0.0010
1 0.0098
2 0.0439
3 0.1172
4 0.2051
5 0.2461
6 0.2051
7 0.1172
8 0.0439
9 0.0098
10 0.0010

2. Distribución Hipergeométrica

¿Qué es y para qué sirve?
La hipergeométrica se aplica cuando tomamos una muestra sin reemplazo de una población finita. Sirve para situaciones como sacar bolas de una urna, cartas de una baraja o inspecciones donde las unidades no se reemplazan.

  • Variable: \(X\) = número de éxitos en n extracciones sin reemplazo.
  • Parámetros: \(N\) (total), \(K\) (éxitos), \(n\) (muestra).
  • Función de probabilidad:
    \[ P(X=k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}} \]
  • Función acumulada:
    \[ F(x) = P(X \leq x) = \sum_{i=0}^{x} \frac{\binom{K}{i} \binom{N-K}{n-i}}{\binom{N}{n}} \]
  • Esperanza: \(E[X] = n\frac{K}{N}\)
  • Varianza: \(Var(X) = n\frac{K}{N}\left(1-\frac{K}{N}\right)\frac{N-n}{N-1}\)

Ejemplo:

Urna con 12 bolas: 5 rojas (éxitos) y 7 azules. Extraemos 4 bolas sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 rojas? Aquí \(N=12, K=5, n=4\).

Hipergeométrica (N=12, K=5, n=4)
Éxitos Probabilidad
0 0.0707
1 0.3535
2 0.4242
3 0.1414
4 0.0101

3. Distribución Geométrica

¿Qué es y para qué sirve?
La geométrica cuenta el número de ensayos hasta el primer éxito. Es útil para modelar escenarios como: cuántos lanzamientos hasta sacar cara, cuántos intentos hasta que un servicio responda correctamente, etc.

  • Variable: \(X\) = ensayo en que aparece el primer éxito.
  • Parámetros: \(p\) (probabilidad de éxito).
  • Función de probabilidad:
    \[ P(X=k)= (1-p)^{k-1}p \]
  • Función acumulada:
    \[ F(x) = P(X \leq x) = \sum_{i=1}^{x} (1-p)^{i-1}p \]
  • Esperanza: \(E[X]=\frac{1}{p}\)
  • Varianza: \(Var(X)=\frac{(1-p)}{p^2}\)

Ejemplo:

Buscamos el primer 6 al lanzar un dado justo. La probabilidad de sacar 6 en cada tiro es \(p=1/6\). Queremos la distribución de las posiciones 1 a 10 (es decir, probabilidad de que el primer 6 ocurra en el tiro 1,2,…,10).

Geométrica (p=1/6)
Tiro Probabilidad
1 0.1667
2 0.1389
3 0.1157
4 0.0965
5 0.0804
6 0.0670
7 0.0558
8 0.0465
9 0.0388
10 0.0323

4. Distribución Binomial Negativa (Pascal)

¿Qué es y para qué sirve?
La binomial negativa modela el número de fracasos (o el número de ensayos totales) hasta que se alcanzan \(r\) éxitos. Se usa en problemas donde se sigue repitiendo un experimento hasta lograr cierta cantidad de éxitos (por ejemplo, cuántos lanzamientos se necesitan para obtener 3 caras).

Existen dos convenciones: contar fracasos o contar el ensayo del r-ésimo éxito. Aquí usamos la forma que da la probabilidad de obtener \(k\) fracasos antes de alcanzar \(r\) éxitos:

  • Función de probabilidad:
    \[ P(X = k) = \binom{k+r-1}{k} p^{r} (1-p)^{k}, \quad k = 0,1,2,\dots \]
  • Función acumulada:
    \[ F(x) = P(X \leq x) = \sum_{i=r}^{x} \binom{i-1}{r-1} p^r (1-p)^{i-r} \]
  • Esperanza: \(E[X]= r\frac{1-p}{p}\)
  • Varianza: \(Var(X)= r\frac{1-p}{p^2}\)

Ejemplo:

Deseamos obtener 3 caras (r = 3) con una moneda justa (p = 0.5). Mostramos la distribución de fracasos (0,1,2,…,10) antes de conseguir las 3 caras.

Binomial Negativa (r=3, p=0.5)
Fracasos Probabilidad
0 0.1250
1 0.1875
2 0.1875
3 0.1562
4 0.1172
5 0.0820
6 0.0547
7 0.0352
8 0.0220
9 0.0134
10 0.0081

5. Distribución de Poisson

¿Qué es y para qué sirve?
La Poisson modela el número de eventos que ocurren en un intervalo fijo cuando los eventos son raros e independientes. Ejemplos: llamadas a un call center, accidentes en una intersección, llegada de clientes por hora.

Con tasa promedio \(\lambda\):

  • Función de probabilidad:
    \[ P(X=k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!}, \quad k = 0,1,2,\dots \]
  • Función acumulada:
    \[ F(x) = P(X \leq x) = \sum_{i=0}^{x} \frac{\lambda^i e^{-\lambda}}{i!} \]
  • Esperanza: \(E[X]=\lambda\)
  • Varianza: \(Var(X)=\lambda\)

Ejemplo:

Una tienda recibe un promedio de 4 clientes por hora (\(\lambda = 4\)). Mostramos la distribución para 0 a 10 clientes en una hora.

Poisson (λ = 4)
Clientes Probabilidad
0 0.0183
1 0.0733
2 0.1465
3 0.1954
4 0.1954
5 0.1563
6 0.1042
7 0.0595
8 0.0298
9 0.0132
10 0.0053

6. Distribución Uniforme Discreta

¿Qué es y para qué sirve?
La uniforme discreta asigna misma probabilidad a todos los valores de un conjunto finito. Es útil cuando no hay razón para preferir un resultado sobre otro (por ejemplo, lanzar un dado justo).

Si los valores posibles son \(a, a+1, …, b\) (con \(n=b-a+1\)), entonces:

  • Función de probabilidad: \[ P(X = k) = \frac{1}{b-a+1}, \quad k = a, a+1, …, b. \]
  • Función acumulada:
    \[ F(x) = P(X \leq x) = \begin{cases} 0 & x < a \\ \frac{\lfloor x \rfloor - a + 1}{b - a + 1} & a \leq x \leq b \\ 1 & x > b \end{cases} \]
  • Esperanza: \(E[X]= \frac{a+b}{2}\)
  • Varianza: \(Var(X)= \frac{(b-a+1)^2 - 1}{12}\)

Ejemplo:

Dado justo con caras 1 a 6. Mostramos la tabla y gráficos.

Uniforme Discreta (Dado 1-6)
Valor Probabilidad
1 0.1667
2 0.1667
3 0.1667
4 0.1667
5 0.1667
6 0.1667