Sea \(X_1, X_2, \dots, X_n \overset{iid}{\sim} \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\).
La función de verosimilitud es:
\[ L(\mu,\sigma) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma} \exp\!\left(-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}\right). \]
La log-verosimilitud resulta:
\[ \ell(\mu,\sigma) = -\frac{n}{2}\log(2\pi) - n\log\sigma -\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2. \]
\[ \frac{\partial \ell}{\partial \mu} = \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)=0 \quad\Rightarrow\quad \widehat{\mu} = \bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i. \]
Sustituyendo \(\mu = \bar{X}\) en \(\ell(\mu,\sigma)\):
\[ \frac{\partial \ell}{\partial \sigma} = -\frac{n}{\sigma} + \frac{1}{\sigma^3}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{X})^2 = 0. \]
De aquí se obtiene:
\[ \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{X})^2 = n \widehat{\sigma}^2. \]
Finalmente, el estimador es:
\[ \boxed{ \; \widehat{\sigma} = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{X})^2} \; } \]
Este es el estimador de máxima verosimilitud de la desviación estándar \(\sigma\).