Distribución Binomial

La distribución binomial describe la probabilidad de obtener un número específico de éxitos en una secuencia de \(n\) ensayos independientes con probabilidad de éxito \(p\).

Fórmula de f(x):
\[ f(x) = P(X=x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}, \quad x=0,1,\dots,n \]

Fórmula de F(x):
\[ F(x) = P(X \leq x) = \sum_{i=0}^{x} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i} \]

Esperanza:
\[ E[X] = np \]

Varianza:
\[ Var[X] = np(1-p) \]

Ejemplo y gráfica

Un dado cargado tiene una probabilidad de \(p = 0.3\) de salir “6”.
Si lanzamos el dado \(n = 12\) veces, ¿cuál es la probabilidad de que salga exactamente 5 veces el “6”?

## [1] "La probabilidad de obtener 5 veces el '6' es: 0.1585"

Distribución Hipergeométrica

La distribución hipergeométrica modela la probabilidad de obtener un número específico de éxitos en una muestra extraída sin reemplazo de una población finita.

Fórmula de f(x):
\[ f(x) = P(X=x) = \frac{\binom{M}{x}\binom{N-M}{n-x}}{\binom{N}{n}}, \quad x=0,1,\dots,n \]

Fórmula de F(x):
\[ F(x) = P(X \leq x) = \sum_{i=0}^{x} \frac{\binom{M}{i}\binom{N-M}{n-i}}{\binom{N}{n}} \]

Esperanza:
\[ E[X] = n \cdot \frac{M}{N} \]

Varianza:
\[ Var[X] = n \cdot \frac{M}{N} \cdot \left(1 - \frac{M}{N}\right) \cdot \frac{N-n}{N-1} \]

Ejemplo y gráfica

En una urna hay \(N=30\) bolas, de las cuales \(M=12\) son azules y el resto rojas.
Se seleccionan \(n=8\) bolas sin reemplazo.
¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 4 bolas azules?

## [1] "La probabilidad de obtener exactamente 4 bolas azules es: 0.2588"

Distribución Geométrica

La distribución geométrica modela el número de ensayos que se realizan hasta obtener el primer éxito en una secuencia de ensayos independientes, cada uno con probabilidad de éxito \(p\).

Fórmula de f(x):
\[ f(x) = P(X=x) = (1-p)^{x-1}p, \quad x=1,2,\dots \]

Fórmula de F(x):
\[ F(x) = P(X \leq x) = 1-(1-p)^x \]

Esperanza:
\[ E[X] = \frac{1}{p} \]

Varianza:
\[ Var[X] = \frac{1-p}{p^2} \]

Ejemplo y gráfica

Un arquero tiene una probabilidad de \(p=0.25\) de acertar al blanco en cada disparo.
¿Cuál es la probabilidad de que acierte en el tercer disparo por primera vez?

## [1] "La probabilidad de acertar por primera vez en el tercer disparo es: 0.1406"

Distribución Binomial Negativa

La distribución binomial negativa describe la probabilidad de que se necesiten un cierto número de ensayos para obtener \(r\) éxitos en una secuencia de ensayos independientes con probabilidad de éxito \(p\).

Fórmula de f(x):
\[ f(x) = P(X=x) = \binom{x-1}{r-1} p^r (1-p)^{x-r}, \quad x=r,r+1,\dots \]

Fórmula de F(x):
\[ F(x) = P(X \leq x) = \sum_{i=r}^{x} \binom{i-1}{r-1} p^r (1-p)^{i-r} \]

Esperanza:
\[ E[X] = \frac{r}{p} \]

Varianza:
\[ Var[X] = \frac{r(1-p)}{p^2} \]

Ejemplo y gráfica

Un pescador atrapa un pez con probabilidad \(p=0.4\) en cada intento.
¿Cuál es la probabilidad de que necesite 6 intentos para atrapar 3 peces?

## [1] "La probabilidad de que necesite 6 intentos para atrapar 3 peces es: 0.1382"

Distribución Poisson

La distribución Poisson modela el número de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo o espacio, cuando los eventos ocurren con una tasa promedio constante \(\lambda\) y de manera independiente entre sí.

Fórmula de f(x):
\[ f(x) = P(X=x) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}, \quad x=0,1,2,\dots \]

Fórmula de F(x):
\[ F(x) = P(X \leq x) = \sum_{i=0}^{x} \frac{e^{-\lambda}\lambda^i}{i!} \]

Esperanza:
\[ E[X] = \lambda \]

Varianza:
\[ Var[X] = \lambda \]

Nota sobre el símbolo \(\lambda\):

El parámetro \(\lambda\) representa el número promedio de eventos que ocurren en un intervalo.
Por ejemplo, si \(\lambda = 5\), significa que en promedio ocurren 5 eventos por intervalo.

Ejemplo y gráfica

Un centro de llamadas recibe en promedio \(\lambda = 5\) llamadas por hora.
¿Cuál es la probabilidad de que en una hora se reciban exactamente 7 llamadas?

## [1] "La probabilidad de recibir exactamente 7 llamadas es: 0.1044"

Distribución Uniforme Discreta

La distribución uniforme discreta describe una situación en la que todas las variables enteras en un rango tienen la misma probabilidad de ocurrir.

Fórmula de f(x): \[ f(x) = P(X=x) = \frac{1}{n}, \quad x \in \{a, a+1, \dots, b\}, \; n = b-a+1 \]

Fórmula de F(x): \[ F(x) = P(X \leq x) = \frac{\lfloor x \rfloor - a + 1}{n}, \quad a \leq x \leq b \]

Esperanza: \[ E[X] = \frac{a+b}{2} \]

Varianza: \[ V[X] = \frac{(n^2-1)}{12} \]

Ejemplo y gráfica

Un profesor selecciona aleatoriamente un número del 1 al 10 para escoger a un estudiante que participará en clase.
Aquí \(a=1\), \(b=10\), y todos los números tienen la misma probabilidad.
¿Cuál es la probabilidad de que el número elegido sea un 7?

## [1] "La probabilidad de que salga el número 7 es: 0.1"