Encuéntrese el estimador de máxima verosimilitud de la media \(\mu\) y de la desviación estándar \(\sigma\)
para el caso de la distribución normal con parámetros \(\mu\) y \(\sigma^2\).
Sea \(X \sim N(\mu,
\sigma^2)\).
La función de densidad de probabilidad es:
\[ f(x; \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) \]
Para una muestra aleatoria independiente de tamaño \(n\):
\[ X_1, X_2, \ldots, X_n \sim N(\mu, \sigma^2) \]
La función de verosimilitud se construye como el producto de las densidades:
\[ L(\mu,\sigma^2) = \prod_{i=1}^n f(x_i;\mu,\sigma^2) \]
Esto es:
\[ L(\mu, \sigma^2) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) \]
Para simplificar el cálculo, se toma el logaritmo natural:
\[ \ell(\mu,\sigma^2) = \ln L(\mu, \sigma^2) \]
\[ \ell(\mu,\sigma^2) = \sum_{i=1}^n \left[ -\tfrac{1}{2}\ln(2\pi\sigma^2) - \frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2} \right] \]
Simplificando:
\[ \ell(\mu,\sigma^2)=-\frac{n}{2}\ln(2\pi\sigma^2)-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2 \]
Derivamos la log-verosimilitud respecto a \(\mu\):
\[ \frac{\partial \ell}{\partial \mu} = \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n (x_i - \mu) \]
Igualamos a cero para encontrar el máximo:
\[ \sum_{i=1}^n (x_i - \mu) = 0 \]
De donde se obtiene:
\[ \hat{\mu} = \bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i \]
Esto significa que el estimador de máxima verosimilitud de \(\mu\) es la media muestral.
Sustituyendo \(\mu = \bar{X}\) en la log-verosimilitud:
\[ \ell(\bar{X},\sigma^2)=-\frac{n}{2}\ln(2\pi)-\frac{n}{2}\ln(\sigma^2)-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{X})^2 \]
Derivamos respecto a \(\sigma^2\):
\[ \frac{\partial \ell}{\partial \sigma^2} = -\frac{n}{2\sigma^2} + \frac{1}{2(\sigma^2)^2}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{X})^2 \]
Igualamos a cero:
\[ -\frac{n}{2\sigma^2} + \frac{1}{2(\sigma^2)^2}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{X})^2 = 0 \]
Multiplicando todo por \(2(\sigma^2)^2\):
\[ -n\sigma^2 + \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{X})^2 = 0 \]
De donde se obtiene:
\[ \hat{\sigma}^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{X})^2 \]
Finalmente, el estimador de la desviación estándar es:
\[ \hat{\sigma}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{X})^2} \]
\[ \boxed{\hat{\mu}=\bar{X}, \quad \hat{\sigma}^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{X})^2, \quad \hat{\sigma}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{X})^2}} \]