Distribución Binomial

La distribución binomial describe la probabilidad de obtener un número específico de éxitos en una secuencia fija de \(n\) ensayos independientes.

  • Fórmula de f(x): \[f(x) = P(X=x) = \binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}\]
  • Fórmula de F(x): \[F(x) = P(X \leq x) = \sum_{i=0}^{x} \binom{n}{i}p^i(1-p)^{n-i}\]
  • Fórmula de la Esperanza (\(E[X]\)): \[E[X] = np\]
  • Fórmula de la Varianza (\(Var[X]\)): \[Var[X] = np(1-p)\]

Ejemplo y Gráfica

Consideremos una moneda trucada con \(p = 0.6\). Si se lanza 10 veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener 7 caras?

## [1] "La probabilidad de obtener 7 caras es: 0.215"

Distribución Poisson

La distribución Poisson modela el número de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo o espacio, dado un promedio constante de ocurrencia.

Fórmula de f(x): \[ f(x) = P(X=x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}, \quad x=0,1,2,\dots \]

Fórmula de F(x): \[ F(x) = P(X \leq x) = \sum_{i=0}^{x} \frac{\lambda^i e^{-\lambda}}{i!} \]

Esperanza: \[ E[X] = \lambda \]

Varianza: \[ V[X] = \lambda \]

Ejemplo y gráfica

Supongamos que en promedio ocurren \(\lambda = 4\) accidentes de tránsito en una semana.
¿Cuál es la probabilidad de que ocurran exactamente 6 accidentes?

## [1] "La probabilidad de que ocurran 6 accidentes es: 0.1042"

Nota sobre el símbolo \(\lambda\):

El parámetro \(\lambda\) (letra griega “lambda”) representa el número promedio de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo o de espacio.
Por ejemplo, si \(\lambda = 4\), significa que en promedio ocurren 4 eventos en cada intervalo considerado.

Distribución Hipergeométrica

La distribución hipergeométrica describe la probabilidad de obtener \(x\) éxitos en una muestra de tamaño \(n\), extraída sin reemplazo de una población finita de tamaño \(N\) que contiene \(M\) elementos exitosos.

Fórmula de f(x): \[ f(x) = P(X=x) = \frac{\binom{M}{x}\binom{N-M}{n-x}}{\binom{N}{n}}, \quad x = \max(0, n-(N-M)), \dots, \min(n, M) \]

Fórmula de F(x): \[ F(x) = P(X \leq x) = \sum_{i=\max(0,n-(N-M))}^{x} \frac{\binom{M}{i}\binom{N-M}{n-i}}{\binom{N}{n}} \]

Esperanza: \[ E[X] = n \cdot \frac{M}{N} \]

Varianza: \[ V[X] = n \cdot \frac{M}{N} \cdot \left(1 - \frac{M}{N}\right) \cdot \frac{N-n}{N-1} \]

Ejemplo y gráfica

Supongamos que en una urna hay \(N=50\) bolas en total, de las cuales \(M=20\) son rojas.
Si se extraen \(n=10\) bolas al azar sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 4 sean rojas?

## [1] "La probabilidad de obtener 4 bolas rojas es: 0.2801"

Distribución Geométrica

La distribución geométrica modela el número de ensayos hasta obtener el primer éxito, en experimentos de tipo Bernoulli con probabilidad de éxito \(p\) en cada ensayo.

Fórmula de f(x): \[ f(x) = P(X=x) = (1-p)^{x-1}p, \quad x=1,2,3,\dots \]

Fórmula de F(x): \[ F(x) = P(X \leq x) = 1-(1-p)^x \]

Esperanza: \[ E[X] = \frac{1}{p} \]

Varianza: \[ V[X] = \frac{1-p}{p^2} \]

Ejemplo y gráfica

Supongamos que la probabilidad de éxito en un ensayo es \(p = 0.3\).
¿Cuál es la probabilidad de que el primer éxito ocurra exactamente en el cuarto intento?

## [1] "La probabilidad de que el primer éxito sea en el intento 4 es: 0.1029"

Distribución Binomial Negativa

La distribución binomial negativa modela el número de ensayos necesarios para obtener \(r\) éxitos, en experimentos de tipo Bernoulli con probabilidad de éxito \(p\) en cada ensayo.

Fórmula de f(x): \[ f(x) = P(X=x) = \binom{x-1}{r-1} p^r (1-p)^{x-r}, \quad x=r,r+1,\dots \]

Fórmula de F(x): \[ F(x) = P(X \leq x) = \sum_{i=r}^{x} \binom{i-1}{r-1} p^r (1-p)^{i-r} \]

Esperanza: \[ E[X] = \frac{r}{p} \]

Varianza: \[ V[X] = \frac{r(1-p)}{p^2} \]

Ejemplo y gráfica

Supongamos que se quiere calcular cuántos ensayos se necesitan para obtener \(r=3\) éxitos,
con probabilidad de éxito \(p=0.4\) en cada ensayo.
¿Cuál es la probabilidad de que el tercer éxito ocurra exactamente en el quinto intento?

## [1] "La probabilidad de que el tercer éxito ocurra en el intento 5 es: 0.1382"

Distribución Uniforme Discreta

La distribución uniforme discreta describe una situación en la que todas las variables enteras en un rango tienen la misma probabilidad de ocurrir.

Fórmula de f(x): \[ f(x) = P(X=x) = \frac{1}{n}, \quad x \in \{a, a+1, \dots, b\}, \; n = b-a+1 \]

Fórmula de F(x): \[ F(x) = P(X \leq x) = \frac{\lfloor x \rfloor - a + 1}{n}, \quad a \leq x \leq b \]

Esperanza: \[ E[X] = \frac{a+b}{2} \]

Varianza: \[ V[X] = \frac{(n^2-1)}{12} \]

Ejemplo y gráfica

Supongamos que se lanza un dado justo de seis caras.
Aquí \(a=1\), \(b=6\), y todos los valores tienen igual probabilidad.

## [1] "La probabilidad de obtener un 4 es: 0.1667"