Analisis Data Multivariat I: Matriks, Dekomposisi Matriks, dan Konsep Jarak
Shabrina Humairoh
2025-09-07
MATRIKS
Matriks adalah susunan angka-angka di dalam kotak yang dibagi ke dalam baris dan kolom. Misalkan terdapat matriks yang terdiri dari m baris dan n kolom, maka matriks tersebut berukuran m x n.
\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 5 & 3 \\ 4 & 1 & 6 \\ 10 & 8 & 9 \end{bmatrix} \] Matriks A di atas merupakan matriks persegi yang berukuran 3 x 3 dan berisi 9 elemen. Setiap elemen dituliskan sebagai \(a_{ij}\) dengan \(i\) menyatakan baris dan \(j\) menyatakan kolom.
Operasi Matriks
# Input Data
X = matrix(c(1,8,9,
5,6,6,
2,9,10), nrow = 3, ncol = 3); X## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1 5 2
## [2,] 8 6 9
## [3,] 9 6 10Y = matrix(c(3,6,5,
9,7,1,
4,8,7), nrow = 3, ncol = 3, byrow = TRUE); Y## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 3 6 5
## [2,] 9 7 1
## [3,] 4 8 7Penjumlahan
X + Y## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 4 11 7
## [2,] 17 13 10
## [3,] 13 14 17Pengurangan
X - Y## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -2 -1 -3
## [2,] -1 -1 8
## [3,] 5 -2 3Y - X## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 2 1 3
## [2,] 1 1 -8
## [3,] -5 2 -3Perkalian
X %*% Y## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 56 57 24
## [2,] 114 162 109
## [3,] 121 176 121Y %*% X## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 96 81 110
## [2,] 74 93 91
## [3,] 131 110 150Transpose
transX = t(X); transX## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1 8 9
## [2,] 5 6 6
## [3,] 2 9 10transY = t(Y); transY## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 3 9 4
## [2,] 6 7 8
## [3,] 5 1 7Invers
inv_X = solve(X); inv_X## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -6 38 -33
## [2,] -1 8 -7
## [3,] 6 -39 34inv_Y = solve(Y); inv_Y## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -3.727273 0.18181818 2.636364
## [2,] 5.363636 -0.09090909 -3.818182
## [3,] -4.000000 0.00000000 3.000000Determinan
det(X)## [1] -1det(Y)## [1] -11Contoh Lain Pembuatan Matriks
Membuat Matriks A
Berikut contoh pembuatan matriks berukuran 4×5 dengan elemen berupa bilangan bulat dari 21 sampai 40.
A <- matrix(11:30, nrow=4, ncol=5) ; A## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,] 11 15 19 23 27
## [2,] 12 16 20 24 28
## [3,] 13 17 21 25 29
## [4,] 14 18 22 26 30Membuat Matriks B
Matriks B dibuat dari sebuah vektor berisi 12 elemen. Penyusunan
matriks dilakukan per baris (byrow=TRUE)
dengan ukuran 3×4.
b <- c(4,7,2,8,5,9,6,3,1,10,12,11)
B <- matrix(b, nrow=3, ncol=4, byrow=TRUE) ; B## [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,] 4 7 2 8
## [2,] 5 9 6 3
## [3,] 1 10 12 11Membuat Matriks C
Selain angka, matriks juga bisa diberi nama pada baris dan kolom.
Contoh berikut menggunakan data sel yang disusun ke dalam
matriks 2×2 dengan nama baris dan kolom tertentu.
sel <- c(15,9,27,18)
nama_kolom <- c("C1", "C2")
nama_baris <- c("R1", "R2")
C <- matrix(sel, nrow=2, ncol=2,
byrow=TRUE, dimnames=list(nama_baris,
nama_kolom)) ; C## C1 C2
## R1 15 9
## R2 27 18Memanggil Komponen Matriks
A## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,] 11 15 19 23 27
## [2,] 12 16 20 24 28
## [3,] 13 17 21 25 29
## [4,] 14 18 22 26 30A[,2] # Kolom 2## [1] 15 16 17 18A[3,] # Baris 3## [1] 13 17 21 25 29A[3,2] # Sel(3, 2)## [1] 17A[c(1,3),2] # Sel(1,2) dan sel(3,2)## [1] 15 17A[,1:3] # kolom(1,2,3)## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 11 15 19
## [2,] 12 16 20
## [3,] 13 17 21
## [4,] 14 18 22A[2:4,] # baris(2,3,4)## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,] 12 16 20 24 28
## [2,] 13 17 21 25 29
## [3,] 14 18 22 26 30VEKTOR RATA-RATA
Vektor rata-rata adalah sebuah vektor yang elemen-elemennya merupakan nilai rata-rata dari masing-masing variabel.
Berikut merupakan contoh dengan menggunakan data kadal.
# input data kadal
BB = c(6.2,11.5,8.7,10.1,7.8,6.9,12.0,3.1,14.8,9.4)
PM = c(61,73,68,70,64,60,76,49,84,71)
RTB = c(115,138,127,123,131,120,143,95,160,128)
lizard = as.matrix(cbind(BB,PM,RTB)); lizard## BB PM RTB
## [1,] 6.2 61 115
## [2,] 11.5 73 138
## [3,] 8.7 68 127
## [4,] 10.1 70 123
## [5,] 7.8 64 131
## [6,] 6.9 60 120
## [7,] 12.0 76 143
## [8,] 3.1 49 95
## [9,] 14.8 84 160
## [10,] 9.4 71 128### Matriks Rata-Rata
vecMeans = as.matrix(colMeans(lizard)); vecMeans## [,1]
## BB 9.05
## PM 67.60
## RTB 128.00vecRata = matrix(c(mean(BB), mean(PM), mean(RTB)), nrow=3, ncol=1); vecRata## [,1]
## [1,] 9.05
## [2,] 67.60
## [3,] 128.00Matriks Kovarians
varkov = cov(lizard); varkov## BB PM RTB
## BB 10.98056 31.80000 54.96667
## PM 31.80000 94.04444 160.22222
## RTB 54.96667 160.22222 300.66667Matriks Korelasi
korel = cor(lizard); korel## BB PM RTB
## BB 1.0000000 0.9895743 0.9566313
## PM 0.9895743 1.0000000 0.9528259
## RTB 0.9566313 0.9528259 1.0000000Matriks Standardisasi (Akar dari Variansi Masing-Masing Variabel)
n = nrow(lizard);n## [1] 10u = matrix(1,n,1); u## [,1]
## [1,] 1
## [2,] 1
## [3,] 1
## [4,] 1
## [5,] 1
## [6,] 1
## [7,] 1
## [8,] 1
## [9,] 1
## [10,] 1xbar = cbind((1/n)*t(u)%*%lizard); xbar## BB PM RTB
## [1,] 9.05 67.6 128D = lizard - u %*% xbar; D## BB PM RTB
## [1,] -2.85 -6.6 -13
## [2,] 2.45 5.4 10
## [3,] -0.35 0.4 -1
## [4,] 1.05 2.4 -5
## [5,] -1.25 -3.6 3
## [6,] -2.15 -7.6 -8
## [7,] 2.95 8.4 15
## [8,] -5.95 -18.6 -33
## [9,] 5.75 16.4 32
## [10,] 0.35 3.4 0S = (1/(n-1))*t(D)%*%D; S## BB PM RTB
## BB 10.98056 31.80000 54.96667
## PM 31.80000 94.04444 160.22222
## RTB 54.96667 160.22222 300.66667Ds = diag(sqrt(diag(S))); Ds## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 3.313692 0.000000 0.00000
## [2,] 0.000000 9.697651 0.00000
## [3,] 0.000000 0.000000 17.33974R = solve(Ds) %*% S %*% solve(Ds); R## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1.0000000 0.9895743 0.9566313
## [2,] 0.9895743 1.0000000 0.9528259
## [3,] 0.9566313 0.9528259 1.0000000EIGEN VALUE
Jika A adalah matriks n x n maka vektor tidak-nol x di Rn disebut vektor eigen dari A jika Ax sama dengan perkalian suatu skalar λ dengan x, yaitu \[ Ax = \lambda x \] Skalar λ disebut nilai eigen dari A dan x dinamakan vektor eigen yang berkoresponden dengan λ.
Eigen value menunjukkan jumlah variasi (informasi) yang dapat dijelaskan oleh satu komponen, sedangkan eigen vector menunjukkan jumlah variasi (informasi) yang dijelaskan suatu komponen lainnya, gabungan dari eigen value. Eigen Value dan eigen vector ini sangat berguna dalam analisis data multivariat misalnya Principal Komponen Analysis, Factor Analysis, dll.
eigX = eigen(X); eigX## eigen() decomposition
## $values
## [1] 18.90178326 -1.92920648 0.02742322
##
## $vectors
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -0.2623239 -0.8282409 -0.6871266
## [2,] -0.6562066 0.2945256 -0.1506428
## [3,] -0.7075161 0.4767303 0.7107487eigY = eigen(Y); eigY## eigen() decomposition
## $values
## [1] 16.4107337 1.1647491 -0.5754827
##
## $vectors
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 0.4960227 0.3544900 0.5422048
## [2,] 0.5461083 -0.6602220 -0.7045920
## [3,] 0.6750757 0.6621508 0.4577817eigvalX = eigX$values; eigvalX## [1] 18.90178326 -1.92920648 0.02742322eigvalY = eigY$values; eigvalY## [1] 16.4107337 1.1647491 -0.5754827eigvecX = eigX$vectors; eigvecX## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -0.2623239 -0.8282409 -0.6871266
## [2,] -0.6562066 0.2945256 -0.1506428
## [3,] -0.7075161 0.4767303 0.7107487eigvecY = eigY$vectors; eigvecY## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 0.4960227 0.3544900 0.5422048
## [2,] 0.5461083 -0.6602220 -0.7045920
## [3,] 0.6750757 0.6621508 0.4577817SINGULAR VALUE DECOMPOSITION (SVD)
SVD memecah sebuah matriks𝐴berukuran m×n menjadi tiga matriks. SVD merupakan salah satu teknik untuk memecah matriks menjadi beberapa matriks.
library(MASS)
a <- matrix(c(5,-3,6,2,-4,8,-2,5,-1,7,3,9), 4, 3, byrow=TRUE)
a## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 5 -3 6
## [2,] 2 -4 8
## [3,] -2 5 -1
## [4,] 7 3 9svd_result <- svd(a)
singular_value <- svd_result$d ; singular_value## [1] 16.07076 7.41936 3.11187U <- svd_result$u ; U## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -0.5046975 0.2278362 -0.3742460
## [2,] -0.5178195 0.4138180 0.7413297
## [3,] 0.1646416 -0.6063789 0.5337354
## [4,] -0.6708477 -0.6396483 -0.1596770V <- svd_result$v ; V## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -0.5341591 -0.17494276 -0.8270847
## [2,] 0.1490928 -0.98251336 0.1115295
## [3,] -0.8321330 -0.06373793 0.5509011KONSEP JARAK
Dalam analisis multivariat, konsep digunakan untuk mengukur seberapa jauh suatu titik data dengan titik lainnya.
set.seed(321)
ss <- sample(1:50, 15)
df <- USArrests[ss, ]
df.scaled <- scale(df); df.scaled## Murder Assault UrbanPop Rape
## Wyoming -0.3721741 -0.02296746 -0.3418930 -0.62039386
## Illinois 0.4221896 1.02244775 1.2520675 0.62633064
## Mississippi 1.6799322 1.14124493 -1.4507350 -0.39776448
## Kansas -0.5486994 -0.56943449 0.0739228 -0.26418686
## New York 0.5766492 1.08184634 1.4599754 0.93801176
## Kentucky 0.2677300 -0.64071280 -0.8963140 -0.51650015
## Oklahoma -0.4163054 -0.14176464 0.2125281 0.03265231
## Hawaii -0.7031590 -1.38913505 1.2520675 0.06233622
## Missouri 0.1132704 0.17898775 0.3511333 1.24969289
## New Mexico 0.6428462 1.45011760 0.3511333 1.82852926
## Louisiana 1.5254725 1.02244775 0.0739228 0.35917539
## South Dakota -1.0341439 -0.91394632 -1.3814324 -1.03596869
## Iowa -1.3871944 -1.27033787 -0.5498008 -1.25859806
## North Dakota -1.6961136 -1.40101477 -1.4507350 -1.85227639
## Texas 0.9296998 0.45222127 1.0441596 0.84896001
## attr(,"scaled:center")
## Murder Assault UrbanPop Rape
## 8.486667 162.933333 64.933333 19.780000
## attr(,"scaled:scale")
## Murder Assault UrbanPop Rape
## 4.531929 84.177081 14.429467 6.737655Jarak Euclidean
Jarak euclidean adalah jarak lurus (garis terpendek) antara dua titik di ruang 𝑝-dimensi. Karena itu, sering disebut juga sebagai jarak lurus standar.
Contoh Aplikasi:
GPS → Menghitung jarak garis lurus antar dua koordinat.
Clustering (K-Means, Hierarchical) → objek dengan jarak yang dekat akan dikelompokkan ke dalam cluster yang sama.
Rumus jarak Euclidean antara dua titik \(x\) dan \(y\) dalam ruang \(p\)-dimensi adalah:
\[ d(x, y) = \sqrt{\sum_{i=1}^{p} (x_i - y_i)^2} \]
dist.eucl <- dist(df.scaled, method = "euclidean"); dist.eucl## Wyoming Illinois Mississippi Kansas New York Kentucky
## Illinois 2.4122476
## Mississippi 2.6164146 3.1543527
## Kansas 0.7934567 2.3786048 3.1993198
## New York 2.7921742 0.4095812 3.3878156 2.7128511
## Kentucky 1.0532156 2.9515362 2.3433244 1.2948587 3.2757206
## Oklahoma 0.8659748 1.8685718 2.9986711 0.5547563 2.2043102 1.4993175
## Hawaii 2.2322175 2.7203365 4.4270510 1.4800030 2.9246694 2.5403456
## Missouri 2.0625111 1.4167282 3.0563398 1.8349434 1.5351057 2.3176129
## New Mexico 3.1109091 1.5775154 3.0617092 3.1551035 1.4705638 3.4011133
## Louisiana 2.4137967 1.6360410 1.7133330 2.6879097 1.7776353 2.4609320
## South Dakota 1.5765126 3.9457686 3.4644086 1.7515852 4.3067435 1.5082173
## Iowa 1.7426214 3.9154083 4.0958166 1.6038155 4.2724405 1.9508929
## North Dakota 2.5296038 4.8794481 4.4694938 2.6181473 5.2524274 2.5546862
## Texas 2.4496576 0.8218968 2.9692463 2.3259192 0.8377979 2.6949264
## Oklahoma Hawaii Missouri New Mexico Louisiana South Dakota
## Illinois
## Mississippi
## Kansas
## New York
## Kentucky
## Oklahoma
## Hawaii 1.6491638
## Missouri 1.3724911 2.3123720
## New Mexico 2.6268378 3.7154012 1.4937447
## Louisiana 2.2916633 3.5012381 1.8909275 1.7882330
## South Dakota 2.1588538 2.9115203 3.2767510 4.4281177 3.7902169
## Iowa 2.1130016 2.3395756 3.3845451 4.6758935 4.0922753 0.9964108
## North Dakota 3.0891779 3.4578871 4.3173165 5.5131433 4.8442635 1.1604313
## Texas 1.8768374 2.5920693 1.1756214 1.5867966 1.3643137 3.8935265
## Iowa North Dakota
## Illinois
## Mississippi
## Kansas
## New York
## Kentucky
## Oklahoma
## Hawaii
## Missouri
## New Mexico
## Louisiana
## South Dakota
## Iowa
## North Dakota 1.1298867
## Texas 3.9137858 4.8837032fviz_dist(dist.eucl)
Jarak Chebyshev
Jarak chebyshev adalah jarak yang ditentukan oleh selisih terbesar di antara koordinat. Dengan kata lain, jarak ini berfokus pada dimensi dengan selisih terbesar.
Contoh Aplikasi:
Catur (Langkah Raja) → jarak Chebyshev menggambarkan jumlah langkah minimum yang dibutuhkan raja untuk berpindah dari satu kotak ke kotak lain (karena raja bisa bergerak ke semua arah, termasuk diagonal).
Quality Control Multivariat → digunakan untuk mengecek kualitas produk dengan banyak dimensi (misalnya panjang, lebar, tinggi). Fokusnya ada pada dimensi terburuk (yang selisihnya paling besar dari standar).
Rumus jarak Chebyshev antara dua titik \(x\) dan \(y\) adalah:
\[ d(x, y) = \max_{i=1,2,\dots,p} \; |x_i - y_i| \]
dist.cheb <- dist(df.scaled, method = "maximum"); dist.cheb## Wyoming Illinois Mississippi Kansas New York Kentucky
## Illinois 1.5939604
## Mississippi 2.0521063 2.7028025
## Kansas 0.5464670 1.5918822 2.2286315
## New York 1.8018683 0.3116811 2.9107104 1.6512808
## Kentucky 0.6399041 2.1483815 1.7819577 0.9702368 2.3562894
## Oklahoma 0.6530462 1.1642124 2.0962376 0.4276699 1.2474473 1.1088421
## Hawaii 1.5939604 2.4115828 2.7028025 1.1781447 2.4709814 2.1483815
## Missouri 1.8700867 0.9009342 1.8018683 1.5138797 1.1088421 1.7661930
## New Mexico 2.4489231 1.2021986 2.2262937 2.0927161 1.1088421 2.3450294
## Louisiana 1.8976467 1.1781447 1.5246578 2.0741719 1.3860526 1.6631605
## South Dakota 1.0395394 2.6334999 2.7140760 1.4553552 2.8414078 1.3018739
## Iowa 1.2473704 2.2927856 3.0671266 0.9944112 2.3521842 1.6549244
## North Dakota 1.3780473 2.7028025 3.3760458 1.5880895 2.9107104 1.9638436
## Texas 1.4693539 0.5702265 2.4948946 1.4783991 0.6296251 1.9404736
## Oklahoma Hawaii Missouri New Mexico Louisiana South Dakota
## Illinois
## Mississippi
## Kansas
## New York
## Kentucky
## Oklahoma
## Hawaii 1.2473704
## Missouri 1.2170406 1.5681228
## New Mexico 1.7958770 2.8392526 1.2711298
## Louisiana 1.9417780 2.4115828 1.4122022 1.4693539
## South Dakota 1.5939604 2.6334999 2.2856616 2.8644979 2.5596164
## Iowa 1.2912504 1.8018683 2.5082909 3.0871273 2.9126670 0.8316315
## North Dakota 1.8849287 2.7028025 3.1019693 3.6808057 3.2215862 0.8163077
## Texas 1.3460052 1.8413563 0.8164294 0.9978963 0.9702368 2.4255920
## Iowa North Dakota
## Illinois
## Mississippi
## Kansas
## New York
## Kentucky
## Oklahoma
## Hawaii
## Missouri
## New Mexico
## Louisiana
## South Dakota
## Iowa
## North Dakota 0.9009342
## Texas 2.3168942 2.7012364fviz_dist(dist.cheb)
Jarak Manhattan
Jarak manhattan adalah jarak yang dihitung dengan menjumlahkan perbedaan absolut antar koordinat, seperti berjalan di jalan kota berbentuk grid [jarak berbasis grid (jumlah selisih)].
Contoh Aplikasi:
Menghitung jarak dalam gudang/grid jalan yang tidak memungkinkan jalur diagonal.
Menghitung jarak antar dokumen berdasarkan frekuensi kata (NLP).
Rumus jarak Manhattan antara dua titik \(x\) dan \(y\) adalah:
\[ d(x, y) = \sum_{i=1}^{p} |x_i - y_i| \]
dist.man <- dist(df.scaled, method = "manhattan"); dist.man## Wyoming Illinois Mississippi Kansas New York Kentucky
## Illinois 4.6804639
## Mississippi 4.5477901 5.1034373
## Kansas 1.4950151 4.6314334 5.5975464
## New York 5.4139111 0.7334472 5.4091682 5.3648806
## Kentucky 1.9159642 5.1088324 3.8673166 2.1102578 5.8422796
## Oklahoma 1.3703957 3.6359252 5.4729270 0.9955082 4.3693724 2.8409781
## Hawaii 3.9738430 4.1009258 8.0763743 2.4788279 4.8343730 4.4465291
## Missouri 3.2505127 2.6766756 5.9782446 3.2014823 2.7867606 3.9878005
## New Mexico 5.6300548 2.7514592 5.3741207 5.5810243 2.4338278 6.0584233
## Louisiana 4.3384469 2.5485829 2.5548545 4.2894164 2.9731109 4.7668154
## South Dakota 3.0080629 7.6885267 5.4767741 3.0570933 8.4219740 2.5796943
## Iowa 3.1085028 7.7889667 7.2404771 3.1575333 8.5224139 3.3731605
## North Dakota 5.0427114 9.7231753 7.3728174 5.0917419 10.4566225 4.6143429
## Texas 4.6324690 1.5082739 5.1808752 4.5834386 1.4875431 5.0608376
## Oklahoma Hawaii Missouri New Mexico Louisiana
## Illinois
## Mississippi
## Kansas
## New York
## Kentucky
## Oklahoma
## Hawaii 2.6034473
## Missouri 2.2059740 4.4728430
## New Mexico 4.5855161 6.8523850 2.3795420
## Louisiana 3.5711187 6.1151982 3.4233902 3.0568606
## South Dakota 4.0526016 4.5379784 6.2585756 8.6381176 7.3465098
## Iowa 4.1530415 3.9256352 6.3590155 8.7385576 7.4469497
## North Dakota 6.0872501 5.6222495 8.2932241 10.6727662 9.3811583
## Texas 3.5879303 4.4687467 2.1834220 2.9573454 2.6260207
## South Dakota Iowa North Dakota
## Illinois
## Mississippi
## Kansas
## New York
## Kentucky
## Oklahoma
## Hawaii
## Missouri
## New Mexico
## Louisiana
## South Dakota
## Iowa 1.7637030
## North Dakota 2.0346485 1.9342086
## Texas 7.6405319 7.7409718 9.6751804fviz_dist(dist.man)
Jarak Mahalanobis
Jarak mahalanobis adalah jarak antar titik yang mempertimbangkan skala (varians) dan korelasi antar variabel.
Contoh Aplikasi:
Misalnya mendeteksi transaksi keuangan yang tidak wajar.
Memisahkan kelompok dengan varians dan korelasi berbeda (Analisis Diskriminan).
Rumus jarak Mahalanobis antara titik \(x\) dan rata-rata \(\mu\) dengan matriks kovarians \(S\) adalah:
\[ d(x, \mu) = \sqrt{(x - \mu)^T S^{-1} (x - \mu)} \]
library(StatMatch)
dist.mah <- mahalanobis.dist(df.scaled); dist.mah## Wyoming Illinois Mississippi Kansas New York Kentucky
## Wyoming 0.000000 1.7186109 2.820779 1.4195095 1.8695558 2.867847
## Illinois 1.718611 0.0000000 3.658323 2.2905255 0.4722069 3.878642
## Mississippi 2.820779 3.6583235 0.000000 3.2139075 3.6566922 2.544477
## Kansas 1.419510 2.2905255 3.213907 0.0000000 2.1522535 2.048031
## New York 1.869556 0.4722069 3.656692 2.1522535 0.0000000 3.698342
## Kentucky 2.867847 3.8786421 2.544477 2.0480310 3.6983422 0.000000
## Oklahoma 1.146496 1.8980286 3.237573 0.6499978 1.7772007 2.505941
## Hawaii 3.466671 3.6449604 4.722203 2.2108491 3.3748818 2.753554
## Missouri 3.198071 3.6796400 3.956918 2.2592572 3.3618939 2.642756
## New Mexico 3.281318 3.5101406 4.057258 3.1016653 3.2869855 3.870023
## Louisiana 2.284940 2.5550539 1.688058 2.2700723 2.4136664 2.119635
## South Dakota 1.826205 3.3564158 3.087365 1.6274307 3.3404110 2.261154
## Iowa 1.327907 2.6329606 3.559587 1.1128197 2.6839965 2.621704
## North Dakota 1.582582 3.1919907 3.553572 1.9466491 3.3317039 3.040465
## Texas 2.540604 2.4769381 3.093919 1.7462066 2.1399545 2.108949
## Oklahoma Hawaii Missouri New Mexico Louisiana South Dakota
## Wyoming 1.1464956 3.466671 3.198071 3.281318 2.284940 1.826205
## Illinois 1.8980286 3.644960 3.679640 3.510141 2.555054 3.356416
## Mississippi 3.2375727 4.722203 3.956918 4.057258 1.688058 3.087365
## Kansas 0.6499978 2.210849 2.259257 3.101665 2.270072 1.627431
## New York 1.7772007 3.374882 3.361894 3.286985 2.413666 3.340411
## Kentucky 2.5059414 2.753554 2.642756 3.870023 2.119635 2.261154
## Oklahoma 0.0000000 2.705865 2.203038 2.660216 2.350208 1.672866
## Hawaii 2.7058650 0.000000 3.193764 4.645567 3.383255 3.551072
## Missouri 2.2030382 3.193764 0.000000 1.836797 3.256319 2.505784
## New Mexico 2.6602159 4.645567 1.836797 0.000000 3.676879 3.026024
## Louisiana 2.3502077 3.383255 3.256319 3.676879 0.000000 3.021642
## South Dakota 1.6728664 3.551072 2.505784 3.026024 3.021642 0.000000
## Iowa 1.3299426 2.790197 3.145245 3.792086 2.954252 1.518854
## North Dakota 1.9813596 3.780966 3.590548 3.950259 3.434074 1.304743
## Texas 1.9635201 2.082005 2.576037 3.501666 1.527269 3.090805
## Iowa North Dakota Texas
## Wyoming 1.327907 1.582582 2.540604
## Illinois 2.632961 3.191991 2.476938
## Mississippi 3.559587 3.553572 3.093919
## Kansas 1.112820 1.946649 1.746207
## New York 2.683996 3.331704 2.139954
## Kentucky 2.621704 3.040465 2.108949
## Oklahoma 1.329943 1.981360 1.963520
## Hawaii 2.790197 3.780966 2.082005
## Missouri 3.145245 3.590548 2.576037
## New Mexico 3.792086 3.950259 3.501666
## Louisiana 2.954252 3.434074 1.527269
## South Dakota 1.518854 1.304743 3.090805
## Iowa 0.000000 1.045923 2.734770
## North Dakota 1.045923 0.000000 3.563193
## Texas 2.734770 3.563193 0.000000dist.mah_matrix <- as.matrix(dist.mah)Jarak Minkowski
Jarak Minkowski adalah ukuran jarak di antara dua titik dalam ruang vektor yang ditentukan oleh sebuah parameter p untuk mencari jarak umum karena menjadi bentuk dasar yang mencakup berbagai jenis jarak lain.
Konsep ini merupakan bentuk umum yang mencakup berbagai jenis jarak lain:
𝑝= 1 → Jarak Manhattan
𝑝= 2 → Jarak Euclidean
𝑝→ ∞ → Jarak Chebyshev
Rumus jarak Minkowski antara dua titik \(x\) dan \(y\) dengan parameter \(p\) adalah:
\[ d(x, y) = \left( \sum_{i=1}^{p} |x_i - y_i|^p \right)^{\frac{1}{p}} \]
set.seed(123)
# Data random (5 observasi dengan 3 variabel)
data <- matrix(runif(15, min = 1, max = 10), nrow = 5, ncol = 3)
colnames(data) <- c("X1", "X2", "X3")
print("Data random:")## [1] "Data random:"print(data)## X1 X2 X3
## [1,] 3.588198 1.410008 9.611500
## [2,] 8.094746 5.752949 5.080007
## [3,] 4.680792 9.031771 7.098136
## [4,] 8.947157 5.962915 6.153701
## [5,] 9.464206 5.109533 1.926322# Tentukan dua titik yang akan dihitung jaraknya
p1 <- data[1, ];p1## X1 X2 X3
## 3.588198 1.410008 9.611500p2 <- data[2, ];p2## X1 X2 X3
## 8.094746 5.752949 5.080007# Fungsi jarak Minkowski
minkowski_distance <- function(x, y, p) {
sum(abs(x - y)^p)^(1/p)
}
# Contoh penggunaan dengan p = 1 (Manhattan), p = 2 (Euclidean), p = 3 (Minkowski umum)
dist_p1 <- minkowski_distance(p1, p2, p = 1);dist_p1## [1] 13.38098dist_p2 <- minkowski_distance(p1, p2, p = 2);dist_p2## [1] 7.726871dist_p3 <- minkowski_distance(p1, p2, p = 3);dist_p3## [1] 6.435156dist_inf <- max(abs(p1 - p2));dist_inf## [1] 4.531493