Resolução dos exemplos apresentados nos slides

Distribuição de Bernoulli

– Seja um experimento aleatório \(E\) realizado repetidas vezes, sempre nas mesmas condições, de tal forma que o resultado pode ser um Sucesso (se acontecer o evento que nos interessa) ou um Fracasso (se o evento não se realizar).

– Seja \(X\) a variável aleatória:

\[X = \left\{\begin{array}{rl} 1, & \hbox{se ocorrer sucesso} \\ 0, & \hbox{se ocorrer fracasso} \end{array}\right.\]

– Sua função de probabilidade é dada por:

– Essas condições caracterizam um conjunto de Provas de Bernoulli ou um experimento de Bernoulli, e sua função probabilidade é dada por:

\[P(X = x) = p^x \times q^{1-x}\]

– Exemplo:

– Lançamento de uma moeda com: \(p = 0,5 \text{ e } q = 0,5\);

\[\boldsymbol{P(X = 1) = 0,5^1 \times 0,5^{1-1}}=0,5\]

Distribuição Binomial

A variável aleatória \(x\) registra o número de tentativas com sucesso, em \(n\) tentativas.

\[P(X=x) = \left( \begin{array}{c} n \\ x \end{array} \right) \times p^x \times q^{n-x}\]

Exemplo: Será que vai chover?

Analise as probabilidades de chover em três dias, sabendo que a probabilidade de chover em um dia é de 40%; Logo, a probabilidade de não chover é de 60% (\(p=0,4; \quad q=0,6; \quad n=3\)).

a) Probabilidade de não chover em nenhum dia: \(x=0; n=3; p=0.4\)

dbinom(x = 0, size = 3, prob = 0.4)
## [1] 0.216

b) Probabilidade de chover em um dia: \(x=1; n=3; p=0.4\)

dbinom(x = 1, size = 3, prob = 0.4)
## [1] 0.432

c) Probabilidade de chover em dois dias: \(x=2; n=3; p=0.4\)

dbinom(x = 2, size = 3, prob = 0.4)
## [1] 0.288

d) Probabilidade de chover nos três dias: \(x=3; n=3; p=0.4\)

dbinom(x = 3, size = 3, prob = 0.4)
## [1] 0.064

e) Distribuição das probabilidades.

x  <- 0:3
p  <- dbinom(x = x, size = 3, prob = 0.4)
px <- data.frame(x, p)
px
##   x     p
## 1 0 0.216
## 2 1 0.432
## 3 2 0.288
## 4 3 0.064

g) Representação gráfica (gráfico de barras)

barplot(px$p, names.arg = px$x, xlab = "Dias de chuva", 
        ylab = "Probabilidades", col = 2:5)

Distribuição Binomial - Pesquisa de comportamento

Uma pesquisa de comportamento, na qual os indivíduos receberam uma pontuação de 1 a 5, sendo 1 extremamente passivo e 5 extremamente agressivo, tem os seus resultados indicados na Tabela abaixo:

PONTOS, x 1 2 3 4 5
FREQUÊNCIA 24 33 42 30 21 \(\sum = 150\)

– Construa uma distribuição de probabilidade para a variável aleatória x.

\(P(1)=\dfrac{24}{150} = 0,16 \qquad P(2)=\dfrac{33}{150} = 0,22 \qquad P(3)=\dfrac{42}{150} = 0,28 \qquad P(4)=\dfrac{30}{150} = 0,20 \qquad P(5)=\dfrac{21}{150} = 0,14\)

Distribuição discreta de probabilidades para as possíveis pontuações.

x 1 2 3 4 5
P(x) 0,16 0,22 0,28 0,20 0,14

Utilizando o R para resolver:

x <- 1:5;
f <- c(24, 33, 42, 30, 21);

px <- f/sum(f)
px
## [1] 0.16 0.22 0.28 0.20 0.14
barplot(px, names.arg = x, col = 2:6)

Distribuição Binomial

Uma moeda não viciada é lançada 8 vezes. Encontre a probabilidade de:

a) dar 5 caras; b) dar pelo menos uma cara; c) dar no máximo 2 caras.

Sabendo que: \(p=0,5\); \(q= 0,5\); \(n = 8\);

\(P(X=x) = \left( \begin{array}{c} n\\ x \end{array} \right) \times p^x \times q^{n-x}\)

Solução:

  1. \(P(X=5) = \dfrac{8!}{(8-5)! \times 5!} \times 0,5^5 \times 0,5^{8-5} = \dfrac{40320}{120,6} = 0,2188 =21,88\%\)

  2. \(P(x\geq 1)= 1 - {P(X=0)} = 1-{ q^n} = 1- 0,5^8 = 0,9960 = 99,6\%\)

  3. \(P(X\leq 2) = P(X=0)+ P(X=1) + P(X=2) = 0,1445 = 14,55\%\)

Solução no R

n = 8;
p = 0.5;

px <- function(x = x, n = n, p = p){
  choose(n,x) * p^x * (1-p)^{n-x}
}

#a) dar 5 caras
px(x = 5, n = 8, p = 0.5)
## [1] 0.21875
#b) dar pelo menos uma cara
1 - px(x = 0, n = 8, p = 0.5)
## [1] 0.9960938
#c) dar no máximo 2 caras
sum(px(x = 0:2, n = 8, p = 0.5))
## [1] 0.1445312
# Utilizando a função dbinom do R
dbinom(x = 5, size = 8, prob = 0.5)
## [1] 0.21875
1 - dbinom(x = 0, size = 8, prob = 0.5)
## [1] 0.9960938
sum(dbinom(x = 0:2, size = 8, prob = 0.5))
## [1] 0.1445313

Distribuição de Poisson

A variável aleatória x conta o número de vezes que o evento ocorre ao longo de um intervalo específico de tempo, área ou volume.

\[P(X=x) = \dfrac{e^{-\lambda} \times \lambda^x}{x!}\]

Exemplo: Em média, são feitas 2 chamadas por hora para certo telefone.

a) Calcular a probabilidade de se receber no máximo 3 chamadas em 2 horas.

Queremos: \(P(X \leq 3); \qquad \text{Temos: }\lambda = 2\) chamadas por hora, para 2 horas \(\lambda = 4\)

\(P(X=x) = \dfrac{e^{-\lambda} \times \lambda^x}{x!}, \text{ onde } \lambda\text{ é a média }(\mu).\)

\[P(X \leq 3)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)\] \[P(X \leq 3) = \dfrac{e^{-\lambda} \times \lambda^0}{0!}+\dfrac{e^{-\lambda} \times \lambda^1}{1!}+\dfrac{e^{-\lambda} \times \lambda^2}{2!}+\dfrac{e^{-\lambda} \times \lambda^3}{3!}\] \[P(X \leq 3)= \dfrac{e^{-4} \times 4^0}{1}+\dfrac{e^{-4} \times 4^1}{1}+\dfrac{e^{-4} \times 4^2}{2}+\dfrac{e^{-4} \times 4^3}{6}\]

\[P(X \leq 3)= e^{-4} + 4 \times e^{-4} + 8 \times e^{-4} +10,66 \times e^{-4} = 23,66 \times e^{-4} = 0,4334 = 43,34\%\]

b) Calcular a probabilidade de nenhuma chamada em 90 minutos.

\(P(X=x) = \dfrac{e^{-\lambda} \times \lambda^x}{x!}, \text{ onde } \lambda\text{ é a média } (\mu).\)

Agora para 90 minutos \(\lambda=3\) (1 hora (60 minutos) \(\lambda=2\))

\[P(X=0)= \dfrac{e^{-\lambda} \times 3^0}{1} = 0,0498 = 4,98 \%\]

Resolvendo no R

a) \(P(X \leq 3)\)

# Escrevendo a função
lambda = 4
x = 0:3

exp(1)^{-lambda} * lambda^x / factorial(x)
## [1] 0.01831564 0.07326256 0.14652511 0.19536681
sum(exp(1)^{-lambda} * lambda^x / factorial(x))
## [1] 0.4334701
# Utilizando a função dpois
dpois(x = 0:3,lambda = 4)
## [1] 0.01831564 0.07326256 0.14652511 0.19536681
sum(dpois(x = 0:3,lambda = 4))
## [1] 0.4334701

b) \(P(X = 0)\)

dpois(x = 0, lambda = 3)
## [1] 0.04978707