Distribuciones Discretas

Valentina Arias Cortez

2025-09-06

Conceptos clave

1 Variable aleatoria discreta (X)
¡La variable aleatoria discreta (X)!

En probabilidad, una variable aleatoria discreta es aquella que solo puede tomar un conjunto finito (por ejemplo, el resultado de un dado) o un conjunto infinito numerable (como el número de intentos hasta obtener el primer éxito).

Algunos ejemplos comunes son:

En otras palabras, una variable aleatoria discreta se caracteriza porque sus valores posibles se pueden enumerar uno a uno, aunque sean infinitos.

¡La probabilidad está en todas partes!

Cada valor posible de la variable tiene asociada una probabilidad, y la suma de todas ellas siempre es igual a 1.

👉 Una característica fundamental es que estas variables no pueden tomar valores intermedios entre dos resultados posibles.

Demostración: al lanzar un dado puede salir 1, 2, 3, 4, 5 o 6, pero nunca 2.7.

Esto las distingue de las variables aleatorias continuas, que sí pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo.

2 Función de probabilidad f(x)
¡Conoce la función de probabilidad!
La función de probabilidad (o función de masa) nos dice qué tan probable es que cada valor posible de una variable aleatoria discreta ocurra.
Se representa como f(x) = P(X = x)

Ejemplo: Si lanzamos un dado justo, cada cara tiene la misma probabilidad: f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = f(5) = f(6) = 1/6

🔹 ¡Recuerda! Las probabilidades siempre cumplen: f(x) ≥ 0 para todo x Σ f(x) = 1 (la suma de todas las probabilidades es 1)

3 Función de probabilidad acumulada F(X)
¡F(x)!

La función de distribución acumulada nos dice la probabilidad de que la variable tome un valor menor o igual a x.
Se representa como F(x) = P(X ≤ x).

Ejemplo: Lanzamos un dado justo:

F(1) = 1/6 F(2) = f(1)+f(2) = 1/6 + 1/6 = 1/3 F(3) = f(1)+f(2)+f(3) = 1/2 F(4) = 2/3 F(5) = 5/6 F(6) = 1

🔹 ¡Recuerda! F(x) siempre crece y termina en 1.

4 Esperanza matemática E(X)
¡El promedio ponderado!

La esperanza matématica (o valor esperado) es el promedio de todos los posibles valores de la variable, tomando en cuenta uss probabilidades.
Se calcula como: E[X] = Σ x·f(x)

Ejemplo: Lanzamos un dado justo: E[X] = (1·1/6 + 2·1/6 + 3·1/6 + 4·1/6 + 5·1/6 + 6·1/6) = 3.5

📌 ¡Recuerda! La esperanza te dice el “resultado promedio” que esperarías a largo plazo.

5 Varianza V(X)
¡Qué tan dispersos están los valores!

Ls varianza mide qué tanto se alejan los valores de la variable respecto a su esperanza.
Fórmula: V(X) = E[X²] − (E[X])²

Ejemplo: para un dado justo: E[X²] = (1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6²)/6 = 91/6 ≈ 15.17
V(X) = 15.17 − (3.5)² = 15.17 − 12.25 = 2.92

🔹 ¡Recuerda! Varianza pequeña → valores cerca del promedio, varianza grande → valores más dispersos.

Distribución Binomial

La distribución binomial modela el número de éxitos en n ensayos independientes, cada uno con probabilidad p de éxito.

Fórmula

\[f(x) = P(X=x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}\]

Parámetros

  • n: número de ensayos
  • p: probabilidad de éxito en cada ensayo

Ejemplo

Una fábrica produce tornillos; 10% salen defectuosos. Revisamos 5 tornillos al azar y contamos cuántos están defectuosos. \[X = \{0,1,2,3,4,5\}\] \[f(0)=0.5905, f(1)=0.3281, f(2)=0.0729, f(3)=0.0081, f(4)=0.0005, f(5)=0.00001\] \[F(x) = \sum_{k=0}^{x} f(k)\] \[E[X] = n \cdot p = 5 \cdot 0.1 = 0.5\] \[Var(X) = n \cdot p \cdot (1-p) = 5 \cdot 0.1 \cdot 0.9 = 0.45\]

Distribución Bernoulli (caso n=1)

Caso especial de la binomial: solo un ensayo. Útil cuando hay un resultado sí/no o éxito/fracaso.

Parámetro

  • p: probabilidad de éxito

Ejemplo

Un sistema de seguridad tiene 80% de probabilidad de detectar intrusos. \[X = \{0,1\}\] \[f(0)=0.2, f(1)=0.8\] \[F(0)=0.2, F(1)=1\] \[E[X] = 0.8, \quad Var(X) = 0.16\]

Distribución Hipergeométrica

Modela la probabilidad de éxitos en n ensayos sin reemplazo de una población finita.

Fórmula

\[f(x) = \frac{\binom{M}{x} \binom{N-M}{n-x}}{\binom{N}{n}}\]

Parámetros

  • N: tamaño total de la población
  • M: número de éxitos en la población
  • n: tamaño de la muestra

Ejemplo

En una urna hay 10 bolas rojas y 20 verdes. Sacamos 5 bolas sin reemplazo. \[X = \{0,1,2,3,4,5\}\] \[f(2) = \frac{\binom{10}{2}\binom{20}{3}}{\binom{30}{5}} \approx 0.296\] \[F(x) = \sum_{k=0}^{x} f(k)\] \[E[X] = n \cdot \frac{M}{N} = 5 \cdot \frac{10}{30} \approx 1.667\] \[Var(X) = n \cdot \frac{M}{N} \cdot \left(1-\frac{M}{N}\right) \cdot \frac{N-n}{N-1} \approx 1.111\]

Distribución Geométrica

Modela el número de ensayos hasta el primer éxito. Cada ensayo independiente con probabilidad p.

Fórmula

\[f(x) = (1-p)^{x-1} \cdot p\] \[F(x) = 1-(1-p)^x\] \[E[X] = \frac{1}{p}, \quad Var(X) = \frac{1-p}{p^2}\]

Parámetro

  • p: probabilidad de éxito

Ejemplo

Una máquina lanza bolas hasta que cae una azul (20% de probabilidad).
\[X = \{1,2,3,...\}\] \[f(3) = 0.2 \cdot 0.8^2 = 0.128\] \[F(3) = 1-(0.8)^3 \approx 0.488\] \[E[X] = 5, \quad Var(X) = 20\]

Distribución Binomial Negativa

Número de ensayos hasta lograr r éxitos. Generaliza la geométrica (que es r=1).

Fórmula

\[f(x) = \binom{x-1}{r-1} p^r (1-p)^{x-r}\] \[F(x) = \sum_{k=r}^{x} f(k)\] \[E[X] = \frac{r}{p}, \quad Var(X) = \frac{r(1-p)}{p^2}\]

Parámetros

  • r: número de éxitos
  • p: probabilidad de éxito

Ejemplo

Lanzamos una moneda con 50% de probabilidad de cara hasta obtener 3 caras. \[X = \{3,4,5,...\}\] \[f(4) = \binom{3}{2} 0.5^3 0.5^1 = 0.1875\] \[E[X] = 6, \quad Var(X) = 6\]

Distribución de Poisson

Modela el número de eventos en un intervalo fijo, con tasa promedio λ y eventos independientes.

Fórmula

\[f(x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}\] \[F(x) = \sum_{k=0}^{x} f(k)\] \[E[X] = \lambda, \quad Var(X) = \lambda\]

Parámetro

  • λ: tasa promedio de ocurrencia

Ejemplo

Un hospital recibe en promedio 2 emergencias por hora. Probabilidad de recibir 3 emergencias en la próxima hora?
\[X = \{0,1,2,...\}\] \[f(3) = \frac{e^{-2} 2^3}{3!} \approx 0.180\] \[F(3) = \sum_{k=0}^{3} f(k) \approx 0.857\] \[E[X] = 2, \quad Var(X) = 2\]

Otros EJEMPLOS

Germinación de semillas
Tenemos un experimento donde cada semilla germina con probabilidad p = 0.83. Se siembran n = 12 semillas. Definimos:
  • X: número de semillas que germinan.
  • Y: número de semillas que no germinan (es decir, Y = 12 - X).

Entonces, X ~ Binomial(n=12, p=0.83).

Resumen
Evento Probabilidad
P(X = 12) — todas germinan 0.106890
P(no todas) — al menos 1 falla 0.893110
P(X = 10) — exactamente 10 germinan 0.295953
P(Y = 10) — exactamente 10 NO germinan (X=2) 0.000001
P(X ≤ 10) — a lo sumo 10 germinan 0.630392
Esperanza E[X] = 9.9600 — Var(X) = 1.6932 — SD(X) = 1.3012
E[X] representa el número promedio esperado de semillas germinadas si repites el experimento muchas veces.

interpretación final

¡Qué nos dice todo esto?
  • Con p = 0.83 y n = 12, es bastante probable que la mayoría germinen (mirar E[X]).
  • Las probabilidades acumuladas (F) te dicen la probabilidad de “no pasarte” de cierto número.
  • Usa Y cuando te pidan “no germinan …”, porque a veces es más directo (Y = 12 − X).