1 Uniforme discreta

  • Definición: Todos los valores enteros en un conjunto finito tienen la misma probabilidad.
  • Función de probabilidad: \[ P(X = x) = \frac{1}{b-a+1}, \quad x = a, a+1, \ldots, b \]
  • Esperanza: \(E(X) = \frac{a+b}{2}\)
  • Varianza: \(V(X) = \frac{(b-a+1)^2 - 1}{12}\)

2 Bernoulli

  • Definición: Modelo de un experimento con dos resultados: éxito (1) y fracaso (0).
  • Función de probabilidad: \[ P(X = x) = p^x (1-p)^{1-x}, \quad x = 0, 1 \]
  • Esperanza: \(E(X) = p\)
  • Varianza: \(V(X) = p(1-p)\)

3 Binomial

  • Definición: Número de éxitos en \(n\) ensayos de Bernoulli independientes.
  • Función de probabilidad: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k=0,1,\ldots,n \]
  • Esperanza: \(E(X) = np\)
  • Varianza: \(V(X) = np(1-p)\)

4 Poisson

  • Definición: Modela el número de eventos en un intervalo dado cuando ocurren con una tasa constante \(\lambda\).
  • Función de probabilidad: \[ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots \]
  • Esperanza: \(E(X) = \lambda\)
  • Varianza: \(V(X) = \lambda\)

5 Hipergeométrica

  • Definición: Número de éxitos al extraer \(n\) elementos sin reemplazo de una población de tamaño \(N\), con \(K\) éxitos.
  • Función de probabilidad: \[ P(X = k) = \frac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}, \quad k=0,1,\dots,n \]
  • Esperanza: \(E(X) = n\frac{M}{N}, \quad\)
  • Varianza: \(V(X) = n\frac{M}{N}\left(1-\frac{M}{N}\right)\frac{N-n}{N-1}\)

6 Binomial negativa

  • Definición: Número de fracasos antes de obtener \(r\) éxitos en ensayos de Bernoulli independientes.
  • Función de probabilidad: \[ P(X = k) = \binom{k+r-1}{r-1} p^r (1-p)^k, \quad k=0,1,2,\ldots \]
  • Esperanza: \(E(X) = r \frac{1-p}{p}\)
  • Varianza: \(V(X) = r \frac{1-p}{p^2}\)

7 Geométrica

  • Definición: Número de ensayos hasta obtener el primer éxito.
  • Función de probabilidad: \[ P(X = k) = (1-p)^{k} p, \quad k=1,2,3,\ldots \]
  • Esperanza: \(E(X) = \frac{1-p}{p}\)
  • Varianza: \(V(X) = \frac{1-p}{p^2}\)

8 Tablas

8.1 Distribución binomial

\[ P(X \leq k) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]

  1. n=5 Distribución binomial

  2. n=10 Distribución binomial

  3. n=15 Distribución binomial

  4. n=20 Distribución binomial

  5. n=25 Distribución binomial

8.2 Distribución de Poisson

\[ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}, \quad k=0,1,2,\dots \]

\[ a)\lambda\leq 1\]

\[ b) 2\leq \lambda\leq 20\]