1. Distribución Binomial

Concepto

Modela el número de éxitos en \(n\) ensayos independientes, cada uno con probabilidad \(p\) de éxito.

¿Para qué se usa?
Se utiliza para contar cuántos eventos exitosos ocurren en un número fijo de intentos (por ejemplo, cuántos productos defectuosos hay en una muestra de 10).

Fórmulas

\[ f(k)=P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, n \] \[ F(k) = P(X \leq k)= \sum_{x=0}^{k} \binom{n}{x} p^x (1 - p)^{n - x} \] \[ \mathbb{E}(X) = np \quad ; \quad \mathrm{Var}(X) = np(1 - p) \]

Donde: - \(X\): número de éxitos en los ensayos - \(n\): número total de ensayos - \(p\): probabilidad de éxito en cada ensayo - \(k\): valor específico que toma la variable \(X\)

2. Distribución Hipergeométrica

Concepto

Modela la probabilidad de obtener \(k\) éxitos en una muestra de tamaño \(n\) tomada sin reemplazo de una población finita.

¿Para qué se usa?
Se utiliza cuando se extraen elementos sin reemplazo, como seleccionar fichas de colores de una bolsa.

Fórmulas

\[ f(k)=P(X = k) = \frac{{\binom{K}{k} \binom{N - K}{n - k}}}{{\binom{N}{n}}} \] \[ F(k) = P(X \leq k) = \sum_{x=0}^{k} \frac{{\binom{K}{x} \binom{N - K}{n - x}}}{{\binom{N}{n}}} \] \[ \mathbb{E}(X) = n \cdot \frac{K}{N} \quad ; \quad \mathrm{Var}(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \frac{N - K}{N} \cdot \frac{N - n}{N - 1} \]

Donde: - \(X\): número de éxitos en la muestra - \(N\): tamaño total de la población - \(K\): número total de elementos exitosos en la población - \(n\): tamaño de la muestra extraída - \(k\): valor específico que toma la variable \(X\)

3. Distribución Geométrica

Concepto

Modela la cantidad de ensayos necesarios hasta obtener el primer éxito en una secuencia de ensayos independientes con probabilidad \(p\).

¿Para qué se usa?
Se aplica en procesos donde queremos saber cuántos intentos se necesitan hasta el primer éxito (por ejemplo, cuántas veces lanzar un dado hasta que salga un 6).

Fórmulas

\[ F(X)=P(X = k) = (1 - p)^{k - 1} p, \quad k = 1, 2, 3, \ldots \] \[ F(k) = P(X \leq k) = 1 - (1 - p)^k \]

\[ \mathbb{E}(X) = \frac{1}{p} \quad ; \quad \mathrm{Var}(X) = \frac{1 - p}{p^2} \]

Donde: - \(X\): número de ensayos hasta el primer éxito - \(p\): probabilidad de éxito en cada ensayo - \(k\): número específico de intentos necesarios para obtener el primer éxito

4. Distribución Binomial Negativa

Concepto

Modela el número total de ensayos necesarios para obtener r éxitos, con probabilidad \(p\) en cada ensayo.

¿Para qué se usa?
Se aplica en contextos donde se repite un experimento hasta que se obtienen varios éxitos, no solo uno (por ejemplo, cuántos tiros a canasta hasta anotar 5 veces).

Fórmulas

\[ f(x)=P(X = x) = \binom{x - 1}{r - 1} p^r (1 - p)^{x - r}, \quad x = r, r+1, \ldots \] \[ F(k) = P(X \leq k) = \sum_{x=r}^{k} \binom{x - 1}{r - 1} p^r (1 - p)^{x - r} \] \[ \mathbb{E}(X) = \frac{r}{p} \quad ; \quad \mathrm{Var}(X) = \frac{r(1 - p)}{p^2} \]

Donde: - \(X\): número total de ensayos hasta obtener \(r\) éxitos - \(r\): número de éxitos deseados - \(p\): probabilidad de éxito en cada ensayo - \(x\): valor específico que toma la variable \(X\)

5. Distribución de Poisson

Concepto

Modela la cantidad de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo o espacio, con tasa promedio \(\lambda\).

¿Para qué se usa?
Se utiliza para contar eventos que suceden en un tiempo o espacio continuo, como llamadas telefónicas por hora o accidentes por semana.

Fórmulas

\[ f(x)=P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots \]

\[ F(k) = P(X \leq k) = \sum_{x=0}^{k} \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} \] \[ \mathbb{E}(X) = \lambda \quad ; \quad \mathrm{Var}(X) = \lambda \]

Donde: - \(X\): número de eventos que ocurren en un intervalo - \(\lambda\): tasa promedio de ocurrencia de eventos por intervalo - \(k\): valor específico que toma la variable \(X\)

6. Distribución Uniforme Discreta

Concepto

Modela una variable aleatoria que toma valores enteros entre \(a\) y \(b\), todos con la misma probabilidad.

¿Para qué se usa?
Cuando cada resultado posible es igualmente probable. Ejemplo típico: lanzar un dado justo, donde cada cara tiene probabilidad \(\frac{1}{6}\).

Fórmulas

\[ f(x)=P(X = x) = \frac{1}{b - a + 1}, \quad x = a, a+1, \ldots, b \]

\[ F(k) = P(X \leq k) = \frac{\lfloor k \rfloor - a + 1}{b - a + 1}, \quad \text{para } a \leq k \leq b \]

\[ \mathbb{E}(X) = \frac{a + b}{2} \quad ; \quad \mathrm{Var}(X) = \frac{(b - a + 1)^2 - 1}{12} \]

Donde: - \(X\): variable aleatoria que toma valores enteros uniformemente distribuidos - \(a\): valor mínimo que puede tomar \(X\) - \(b\): valor máximo que puede tomar \(X\) - \(x\): valor específico dentro del rango \([a, b]\)