Analisi Data Multivariat
Mutiara Faza
2025-09-07
Definisi Matriks
Matriks adalah susunan angka-angka di dalam kotak yang dibagi ke dalam baris dan kolom. Misalkan terdiri dari n baris dan p kolom, maka matriks tersebut berukuran (ordo) n × p. Contoh matriks berordo \(2\times2\)
\[ \boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 2&1\\ 1&3 \end{bmatrix} \]
Syntax di R
X= matrix (c(2.5, 4.1, 3.7,
5.6, 7.2, 6.3,
8.4, 9.1, 4.8), nrow = 3, ncol = 3); X## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 2.5 5.6 8.4
## [2,] 4.1 7.2 9.1
## [3,] 3.7 6.3 4.8Y= matrix (c(1.2, 3.4, 2.8,
4.5, 5.7, 7.6,
6.9, 8.3, 9.5), nrow = 3, ncol = 3, byrow = TRUE); Y## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1.2 3.4 2.8
## [2,] 4.5 5.7 7.6
## [3,] 6.9 8.3 9.5Operasi Matriks
Operasi matriks adalah berbagai cara untuk mengolah dan memanipulasi matriks sehingga menghasilkan matriks baru atau nilai tertentu. Beberapa operasi matriks sebagai berikut:
Penjumlahan Matriks
Matriks yang dapat dijumlahkan adalah matriks yang berorodo sama
X + Y## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 3.7 9.0 11.2
## [2,] 8.6 12.9 16.7
## [3,] 10.6 14.6 14.3Pengurangan Matriks
Pengurangan matriks merupakan operasi mengurangkan dua matriks yang ukurannya sama (ordo sama)
X - Y## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1.3 2.2 5.6
## [2,] -0.4 1.5 1.5
## [3,] -3.2 -2.0 -4.7Y - X## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -1.3 -2.2 -5.6
## [2,] 0.4 -1.5 -1.5
## [3,] 3.2 2.0 4.7Perkalian Matriks
Perkalian dua matriks \(\boldsymbol{A}\) dan \(\boldsymbol{B}\) dapat dilakukan apabila jumlah kolom \(\boldsymbol{A}\) = jumlah baris \(\boldsymbol{B}\).
X %*% Y## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 86.16 110.14 129.36
## [2,] 100.11 130.51 152.65
## [3,] 65.91 88.33 103.84Perkalian Skalar dengan Matriks
2*X## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 5.0 11.2 16.8
## [2,] 8.2 14.4 18.2
## [3,] 7.4 12.6 9.6Perkalian Antar Elemen
Setiap elemen dari matriks \(\boldsymbol{X}\) dikalikan dengan elemen pada posisis yang sama di matriks \(\boldsymbol{Y}\). Dengan syarat ukuran (ordo) kedua mtriks harus sama
X*Y## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 3.00 19.04 23.52
## [2,] 18.45 41.04 69.16
## [3,] 25.53 52.29 45.60Transpose
Diperoleh dengan cara menukar baris dan kolomnya, dinotasikan dengan \(\boldsymbol{A}^{'}\), \(\boldsymbol{A}^{T}\), atau \(\boldsymbol{A}^{t}\).
Matriks \(\boldsymbol{X}\) dan \(\boldsymbol{Y}\)
X## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 2.5 5.6 8.4
## [2,] 4.1 7.2 9.1
## [3,] 3.7 6.3 4.8Y## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1.2 3.4 2.8
## [2,] 4.5 5.7 7.6
## [3,] 6.9 8.3 9.5Lalu di transpose kan menjadi
transX = t(X); transX ## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 2.5 4.1 3.7
## [2,] 5.6 7.2 6.3
## [3,] 8.4 9.1 4.8transY = t(Y); transY## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1.2 4.5 6.9
## [2,] 3.4 5.7 8.3
## [3,] 2.8 7.6 9.5Invers
Matriks invers adalah matriks yang ketika dikalikan dengan matriks asalnya menghasilkan matriks identitas. Invers dari matriks\(\boldsymbol{A}\) dilambangkan dengan \(\boldsymbol{A}^{-1}\). dan memenuhi \[\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{A}^{-1} \times \boldsymbol{A} = \boldsymbol{I}\] dimana \(\boldsymbol{I}\) adalah matriks identitas.
inv_X = solve(X); inv_X ## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -1.55798837 1.7817311 -0.6513856
## [2,] 0.95723572 -1.3055080 0.7998632
## [3,] -0.05542251 0.3400616 -0.3393774inv_Y = solve(Y); inv_Y## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -0.5351792 -0.5429702 0.5921131
## [2,] 0.5807264 -0.4746494 0.2085581
## [3,] -0.1186624 0.8090615 -0.5070119Determinan
Determinan adalah nilai skalar yang dihitung dari elemen-elemen matriks pesergi. Determinan memberikan informasi penting tentang matriks, seperti kebalikan (invertibilitas) dan sifat transformasi linear. Determinan matriks \(\boldsymbol{A}\) dilambangkan dengan \(\det(\boldsymbol{A})\) atau |\(\boldsymbol{A}\)|.
det(X) ## [1] 14.615det(Y)## [1] 16.686Memanggil Komponen Matriks
Memanggil sebagian atau seluruh elemen matriks untuk menganalisis, memanipulasi, atau menggunakan data tertentu tanpa harus melihat seluruh matriks yang besar. Contoh:
A <- matrix(1:20, nrow=4, ncol=5) ; A## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,] 1 5 9 13 17
## [2,] 2 6 10 14 18
## [3,] 3 7 11 15 19
## [4,] 4 8 12 16 20Matriks \(\boldsymbol{A}\) berordo \(4\times5\) - Memanggil kembali matriks \(\boldsymbol{A}\)
A## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,] 1 5 9 13 17
## [2,] 2 6 10 14 18
## [3,] 3 7 11 15 19
## [4,] 4 8 12 16 20- Memanggil di kolom kedua
A[,2] ## [1] 5 6 7 8- Memanggil di baris ketiga
A[3,] ## [1] 3 7 11 15 19- Memanggil di sel (3,2)
A[3,2]## [1] 7- Memanggil di Sel(1,2) dan sel(3,2)
A[c(1,3),2] ## [1] 5 7- Memanggil dikolom 1 hingga 3
A[,1:3]## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1 5 9
## [2,] 2 6 10
## [3,] 3 7 11
## [4,] 4 8 12- Memanggil di baris 2 hingga 4
A[2:4,] ## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,] 2 6 10 14 18
## [2,] 3 7 11 15 19
## [3,] 4 8 12 16 20Eigen Value dan Eigen Vector
Eigen Value menunjukkan jumlah variasi (informasi) yang dapat dijelaskan oleh satu komponen Eigen Vector menunjukkan jumlah variasi (informasi) yang dijelaskan suatu komponen lainnya
eigX = eigen(X); eigX## eigen() decomposition
## $values
## [1] 17.2609544 -2.4095587 -0.3513958
##
## $vectors
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -0.5414689 -0.7494094 -0.82289410
## [2,] -0.6745365 -0.2577828 0.56032849
## [3,] -0.5018087 0.6098635 -0.09421938eigY = eigen(Y); eigY## eigen() decomposition
## $values
## [1] 17.8687027+0.0000000i -0.7343513+0.6281239i -0.7343513-0.6281239i
##
## $vectors
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -0.2484324+0i -0.70415491+0.0000000i -0.70415491+0.0000000i
## [2,] -0.5775468+0i 0.08806779-0.4494408i 0.08806779+0.4494408i
## [3,] -0.7776381+0i 0.37951875+0.3877865i 0.37951875-0.3877865ieigvalX = eigX$values; eigvalX## [1] 17.2609544 -2.4095587 -0.3513958eigvalY = eigY$values; eigvalY## [1] 17.8687027+0.0000000i -0.7343513+0.6281239i -0.7343513-0.6281239ieigvecX = eigX$vectors; eigvecX## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -0.5414689 -0.7494094 -0.82289410
## [2,] -0.6745365 -0.2577828 0.56032849
## [3,] -0.5018087 0.6098635 -0.09421938eigvecY = eigY$vectors; eigvecY## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -0.2484324+0i -0.70415491+0.0000000i -0.70415491+0.0000000i
## [2,] -0.5775468+0i 0.08806779-0.4494408i 0.08806779+0.4494408i
## [3,] -0.7776381+0i 0.37951875+0.3877865i 0.37951875-0.3877865iDekomposisi Singular Value (SVD)
Singular Value Decomposition (SVD) adalah sebuah metode dalam aljabar linear yang memecah sebuah matriks A (berukuran \(\boldsymbol{m}\times \boldsymbol{n}\)) menjadi tiga matriks yang memiliki struktur khusus. \[ \boldsymbol{A_{n\times m}} = \boldsymbol{U_{n\times n}} \boldsymbol{D_{n\times m}} \boldsymbol{V_{m\times m}^{'}}\]
library(MASS)
A <- matrix(c(5, -3, 6, 2, -4, 8, -2, 5, -1, 7, 3, 9), nrow = 4, ncol = 3, byrow = TRUE)
A## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 5 -3 6
## [2,] 2 -4 8
## [3,] -2 5 -1
## [4,] 7 3 9svd_result <- svd(A)
singular_value <- svd_result$d ; singular_value## [1] 16.07076 7.41936 3.11187U <- svd_result$u ; U## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -0.5046975 0.2278362 -0.3742460
## [2,] -0.5178195 0.4138180 0.7413297
## [3,] 0.1646416 -0.6063789 0.5337354
## [4,] -0.6708477 -0.6396483 -0.1596770V <- svd_result$v ; V## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -0.5341591 -0.17494276 -0.8270847
## [2,] 0.1490928 -0.98251336 0.1115295
## [3,] -0.8321330 -0.06373793 0.5509011Matriks Jarak
Matriks jarak adalah matriks persegi yang menyimpan informasi jarak antara setiap pasangan elemen dalam suatu himpunan.
1. Jarak Euclidean
Jarak Euclidean adalah jarak garis lurus terpendek antara dua titik di ruang.
Jarak Euclidean memiliki rumus sebagai berikut : \[ \ d_{ij} = \sqrt{(x_i-x_j)^t(x_i-x_j)}\]
Contoh implementasi : - di sistem rekomendasi berbasis pengguna kita menganggap tiap pengguna sebagai vektor preferensi (misal rating film) -Ilmu kesehatan Mengukur jarak antar titik pada tubuh (misalnya posisi sensor EKG, jarak antar marker pada penelitian gerak tubuh).
Berikut cara mencari jarak euclidean di software R :
library(factoextra)## Warning: package 'factoextra' was built under R version 4.4.3## Loading required package: ggplot2## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 4.4.3## Welcome! Want to learn more? See two factoextra-related books at https://goo.gl/ve3WBa#Random Sampling
set.seed(321)
ss <- sample(1:50, 15)
df <- USArrests[ss, ]
df.scaled <- scale(df); df.scaled## Murder Assault UrbanPop Rape
## Wyoming -0.3721741 -0.02296746 -0.3418930 -0.62039386
## Illinois 0.4221896 1.02244775 1.2520675 0.62633064
## Mississippi 1.6799322 1.14124493 -1.4507350 -0.39776448
## Kansas -0.5486994 -0.56943449 0.0739228 -0.26418686
## New York 0.5766492 1.08184634 1.4599754 0.93801176
## Kentucky 0.2677300 -0.64071280 -0.8963140 -0.51650015
## Oklahoma -0.4163054 -0.14176464 0.2125281 0.03265231
## Hawaii -0.7031590 -1.38913505 1.2520675 0.06233622
## Missouri 0.1132704 0.17898775 0.3511333 1.24969289
## New Mexico 0.6428462 1.45011760 0.3511333 1.82852926
## Louisiana 1.5254725 1.02244775 0.0739228 0.35917539
## South Dakota -1.0341439 -0.91394632 -1.3814324 -1.03596869
## Iowa -1.3871944 -1.27033787 -0.5498008 -1.25859806
## North Dakota -1.6961136 -1.40101477 -1.4507350 -1.85227639
## Texas 0.9296998 0.45222127 1.0441596 0.84896001
## attr(,"scaled:center")
## Murder Assault UrbanPop Rape
## 8.486667 162.933333 64.933333 19.780000
## attr(,"scaled:scale")
## Murder Assault UrbanPop Rape
## 4.531929 84.177081 14.429467 6.737655dist.eucl <- dist(df.scaled, method = "euclidean"); dist.eucl## Wyoming Illinois Mississippi Kansas New York Kentucky
## Illinois 2.4122476
## Mississippi 2.6164146 3.1543527
## Kansas 0.7934567 2.3786048 3.1993198
## New York 2.7921742 0.4095812 3.3878156 2.7128511
## Kentucky 1.0532156 2.9515362 2.3433244 1.2948587 3.2757206
## Oklahoma 0.8659748 1.8685718 2.9986711 0.5547563 2.2043102 1.4993175
## Hawaii 2.2322175 2.7203365 4.4270510 1.4800030 2.9246694 2.5403456
## Missouri 2.0625111 1.4167282 3.0563398 1.8349434 1.5351057 2.3176129
## New Mexico 3.1109091 1.5775154 3.0617092 3.1551035 1.4705638 3.4011133
## Louisiana 2.4137967 1.6360410 1.7133330 2.6879097 1.7776353 2.4609320
## South Dakota 1.5765126 3.9457686 3.4644086 1.7515852 4.3067435 1.5082173
## Iowa 1.7426214 3.9154083 4.0958166 1.6038155 4.2724405 1.9508929
## North Dakota 2.5296038 4.8794481 4.4694938 2.6181473 5.2524274 2.5546862
## Texas 2.4496576 0.8218968 2.9692463 2.3259192 0.8377979 2.6949264
## Oklahoma Hawaii Missouri New Mexico Louisiana South Dakota
## Illinois
## Mississippi
## Kansas
## New York
## Kentucky
## Oklahoma
## Hawaii 1.6491638
## Missouri 1.3724911 2.3123720
## New Mexico 2.6268378 3.7154012 1.4937447
## Louisiana 2.2916633 3.5012381 1.8909275 1.7882330
## South Dakota 2.1588538 2.9115203 3.2767510 4.4281177 3.7902169
## Iowa 2.1130016 2.3395756 3.3845451 4.6758935 4.0922753 0.9964108
## North Dakota 3.0891779 3.4578871 4.3173165 5.5131433 4.8442635 1.1604313
## Texas 1.8768374 2.5920693 1.1756214 1.5867966 1.3643137 3.8935265
## Iowa North Dakota
## Illinois
## Mississippi
## Kansas
## New York
## Kentucky
## Oklahoma
## Hawaii
## Missouri
## New Mexico
## Louisiana
## South Dakota
## Iowa
## North Dakota 1.1298867
## Texas 3.9137858 4.8837032fviz_dist(dist.eucl)
2. Jarak Manhattan
Jarak Manhattan merupakan jumlah dari selisih nilai absolut koordinat-koordinatnya. Jarak ini mengukur total pergerakan vertikal dan horizontal yang dibutuhkan untuk berpindah dari satu titik ke titik lain. Disebut “Manhattan” karena mirip dengan berjalan di jalanan kota Manhattan yang berbentuk petak-petak (grid).
Jarak Manhattan memiliki rumus sebagai berikut :
\[\ {d}_{ij}=\sum_{l=1}^{p} \lvert x_{li}-x_{lj} \rvert\] Contoh implementasi : - Computer Vision (gambar pixel grid) Mengukur jarak antar pixel di grid. Kalau kita hitung kesamaan pola atau jalur, Manhattan lebih natural karena pixel juga tersusun kotak-kotak. - Permainan papan (board games) Di catur atau permainan grid lain, pergerakan pion yang hanya bisa vertikal/horizontal (bukan diagonal) dihitung pakai Manhattan distance.
Berikut cara mencari jarak Manhattan di software R :
dist.man <- dist(df.scaled, method = "manhattan"); dist.man## Wyoming Illinois Mississippi Kansas New York Kentucky
## Illinois 4.6804639
## Mississippi 4.5477901 5.1034373
## Kansas 1.4950151 4.6314334 5.5975464
## New York 5.4139111 0.7334472 5.4091682 5.3648806
## Kentucky 1.9159642 5.1088324 3.8673166 2.1102578 5.8422796
## Oklahoma 1.3703957 3.6359252 5.4729270 0.9955082 4.3693724 2.8409781
## Hawaii 3.9738430 4.1009258 8.0763743 2.4788279 4.8343730 4.4465291
## Missouri 3.2505127 2.6766756 5.9782446 3.2014823 2.7867606 3.9878005
## New Mexico 5.6300548 2.7514592 5.3741207 5.5810243 2.4338278 6.0584233
## Louisiana 4.3384469 2.5485829 2.5548545 4.2894164 2.9731109 4.7668154
## South Dakota 3.0080629 7.6885267 5.4767741 3.0570933 8.4219740 2.5796943
## Iowa 3.1085028 7.7889667 7.2404771 3.1575333 8.5224139 3.3731605
## North Dakota 5.0427114 9.7231753 7.3728174 5.0917419 10.4566225 4.6143429
## Texas 4.6324690 1.5082739 5.1808752 4.5834386 1.4875431 5.0608376
## Oklahoma Hawaii Missouri New Mexico Louisiana
## Illinois
## Mississippi
## Kansas
## New York
## Kentucky
## Oklahoma
## Hawaii 2.6034473
## Missouri 2.2059740 4.4728430
## New Mexico 4.5855161 6.8523850 2.3795420
## Louisiana 3.5711187 6.1151982 3.4233902 3.0568606
## South Dakota 4.0526016 4.5379784 6.2585756 8.6381176 7.3465098
## Iowa 4.1530415 3.9256352 6.3590155 8.7385576 7.4469497
## North Dakota 6.0872501 5.6222495 8.2932241 10.6727662 9.3811583
## Texas 3.5879303 4.4687467 2.1834220 2.9573454 2.6260207
## South Dakota Iowa North Dakota
## Illinois
## Mississippi
## Kansas
## New York
## Kentucky
## Oklahoma
## Hawaii
## Missouri
## New Mexico
## Louisiana
## South Dakota
## Iowa 1.7637030
## North Dakota 2.0346485 1.9342086
## Texas 7.6405319 7.7409718 9.6751804fviz_dist(dist.man)
3. Jarak Chebyshev
Jarak Chebyshev adalah nilai maksimum dari selisih absolut dari koordinat-koordinat.
Jarak Chebyshev memiliki rumus sebagai berikut : \[\ {d_{ij} = max(\lvert x_{li}-x_{lj} \rvert)}\]
Contoh implementasi : - Waktu tempuh di kota dengan diagonal shortcut Kalau kota punya jalur diagonal (misalnya ada jalan tikus atau lorong yang bisa langsung miring), waktu tempuh efektif jadi dihitung pakai Chebyshev. - - - - Pengawasan CCTV atau kamera sensor Dalam zona deteksi persegi, sering dipakai jarak Chebyshev. Misalnya kamera mendeteksi gerakan dalam radius persegi 5 unit → berarti jarak Chebyshev ≤ 5.
Berikut cara mencari jarak chebyshev di software R :
dist.cheb <- dist(df.scaled, method = "maximum"); dist.cheb## Wyoming Illinois Mississippi Kansas New York Kentucky
## Illinois 1.5939604
## Mississippi 2.0521063 2.7028025
## Kansas 0.5464670 1.5918822 2.2286315
## New York 1.8018683 0.3116811 2.9107104 1.6512808
## Kentucky 0.6399041 2.1483815 1.7819577 0.9702368 2.3562894
## Oklahoma 0.6530462 1.1642124 2.0962376 0.4276699 1.2474473 1.1088421
## Hawaii 1.5939604 2.4115828 2.7028025 1.1781447 2.4709814 2.1483815
## Missouri 1.8700867 0.9009342 1.8018683 1.5138797 1.1088421 1.7661930
## New Mexico 2.4489231 1.2021986 2.2262937 2.0927161 1.1088421 2.3450294
## Louisiana 1.8976467 1.1781447 1.5246578 2.0741719 1.3860526 1.6631605
## South Dakota 1.0395394 2.6334999 2.7140760 1.4553552 2.8414078 1.3018739
## Iowa 1.2473704 2.2927856 3.0671266 0.9944112 2.3521842 1.6549244
## North Dakota 1.3780473 2.7028025 3.3760458 1.5880895 2.9107104 1.9638436
## Texas 1.4693539 0.5702265 2.4948946 1.4783991 0.6296251 1.9404736
## Oklahoma Hawaii Missouri New Mexico Louisiana South Dakota
## Illinois
## Mississippi
## Kansas
## New York
## Kentucky
## Oklahoma
## Hawaii 1.2473704
## Missouri 1.2170406 1.5681228
## New Mexico 1.7958770 2.8392526 1.2711298
## Louisiana 1.9417780 2.4115828 1.4122022 1.4693539
## South Dakota 1.5939604 2.6334999 2.2856616 2.8644979 2.5596164
## Iowa 1.2912504 1.8018683 2.5082909 3.0871273 2.9126670 0.8316315
## North Dakota 1.8849287 2.7028025 3.1019693 3.6808057 3.2215862 0.8163077
## Texas 1.3460052 1.8413563 0.8164294 0.9978963 0.9702368 2.4255920
## Iowa North Dakota
## Illinois
## Mississippi
## Kansas
## New York
## Kentucky
## Oklahoma
## Hawaii
## Missouri
## New Mexico
## Louisiana
## South Dakota
## Iowa
## North Dakota 0.9009342
## Texas 2.3168942 2.7012364fviz_dist(dist.cheb)
4. Jarak Mahalanobis
Jarak Mahalanobis merupakan jarak antara sebuah titik data dengan pusat distribusi sekelompok data. Jarak ini memperhitungkan korelasi antar variabel dalam data dan tidak terpengaruh oleh skala pengukuran.
Jarak Mahalanobis memiliki rumus sebagai berikut : \[d_{ij}=\sqrt{\left(\ {y_i}-\ {y_j}\right)^t\ {S^{-1}}\left(\ {y_i}-\ {y_j}\right)}\]
Contoh implementasi :
Pengenalan wajah (Face Recognition) Sistem kamera sering mengukur “jarak Mahalanobis” antar vektor fitur wajah.
Mahalanobis distance di kesehatan, artinya kita sedang mengukur seberapa jauh kondisi seorang pasien dari “pola normal orang sehat”, dengan mempertimbangkan bahwa indikator medis saling berhubungan.
Berikut cara mencari jarak chebyshev di software R :
library(StatMatch)## Warning: package 'StatMatch' was built under R version 4.4.3## Loading required package: proxy## Warning: package 'proxy' was built under R version 4.4.3##
## Attaching package: 'proxy'## The following objects are masked from 'package:stats':
##
## as.dist, dist## The following object is masked from 'package:base':
##
## as.matrix## Loading required package: survey## Warning: package 'survey' was built under R version 4.4.3## Loading required package: grid## Loading required package: Matrix## Loading required package: survival##
## Attaching package: 'survey'## The following object is masked from 'package:graphics':
##
## dotchart## Loading required package: lpSolve## Warning: package 'lpSolve' was built under R version 4.4.2## Loading required package: dplyr## Warning: package 'dplyr' was built under R version 4.4.3##
## Attaching package: 'dplyr'## The following object is masked from 'package:MASS':
##
## select## The following objects are masked from 'package:stats':
##
## filter, lag## The following objects are masked from 'package:base':
##
## intersect, setdiff, setequal, uniondist.mah <- mahalanobis.dist(df.scaled); dist.mah## Wyoming Illinois Mississippi Kansas New York Kentucky
## Wyoming 0.000000 1.7186109 2.820779 1.4195095 1.8695558 2.867847
## Illinois 1.718611 0.0000000 3.658323 2.2905255 0.4722069 3.878642
## Mississippi 2.820779 3.6583235 0.000000 3.2139075 3.6566922 2.544477
## Kansas 1.419510 2.2905255 3.213907 0.0000000 2.1522535 2.048031
## New York 1.869556 0.4722069 3.656692 2.1522535 0.0000000 3.698342
## Kentucky 2.867847 3.8786421 2.544477 2.0480310 3.6983422 0.000000
## Oklahoma 1.146496 1.8980286 3.237573 0.6499978 1.7772007 2.505941
## Hawaii 3.466671 3.6449604 4.722203 2.2108491 3.3748818 2.753554
## Missouri 3.198071 3.6796400 3.956918 2.2592572 3.3618939 2.642756
## New Mexico 3.281318 3.5101406 4.057258 3.1016653 3.2869855 3.870023
## Louisiana 2.284940 2.5550539 1.688058 2.2700723 2.4136664 2.119635
## South Dakota 1.826205 3.3564158 3.087365 1.6274307 3.3404110 2.261154
## Iowa 1.327907 2.6329606 3.559587 1.1128197 2.6839965 2.621704
## North Dakota 1.582582 3.1919907 3.553572 1.9466491 3.3317039 3.040465
## Texas 2.540604 2.4769381 3.093919 1.7462066 2.1399545 2.108949
## Oklahoma Hawaii Missouri New Mexico Louisiana South Dakota
## Wyoming 1.1464956 3.466671 3.198071 3.281318 2.284940 1.826205
## Illinois 1.8980286 3.644960 3.679640 3.510141 2.555054 3.356416
## Mississippi 3.2375727 4.722203 3.956918 4.057258 1.688058 3.087365
## Kansas 0.6499978 2.210849 2.259257 3.101665 2.270072 1.627431
## New York 1.7772007 3.374882 3.361894 3.286985 2.413666 3.340411
## Kentucky 2.5059414 2.753554 2.642756 3.870023 2.119635 2.261154
## Oklahoma 0.0000000 2.705865 2.203038 2.660216 2.350208 1.672866
## Hawaii 2.7058650 0.000000 3.193764 4.645567 3.383255 3.551072
## Missouri 2.2030382 3.193764 0.000000 1.836797 3.256319 2.505784
## New Mexico 2.6602159 4.645567 1.836797 0.000000 3.676879 3.026024
## Louisiana 2.3502077 3.383255 3.256319 3.676879 0.000000 3.021642
## South Dakota 1.6728664 3.551072 2.505784 3.026024 3.021642 0.000000
## Iowa 1.3299426 2.790197 3.145245 3.792086 2.954252 1.518854
## North Dakota 1.9813596 3.780966 3.590548 3.950259 3.434074 1.304743
## Texas 1.9635201 2.082005 2.576037 3.501666 1.527269 3.090805
## Iowa North Dakota Texas
## Wyoming 1.327907 1.582582 2.540604
## Illinois 2.632961 3.191991 2.476938
## Mississippi 3.559587 3.553572 3.093919
## Kansas 1.112820 1.946649 1.746207
## New York 2.683996 3.331704 2.139954
## Kentucky 2.621704 3.040465 2.108949
## Oklahoma 1.329943 1.981360 1.963520
## Hawaii 2.790197 3.780966 2.082005
## Missouri 3.145245 3.590548 2.576037
## New Mexico 3.792086 3.950259 3.501666
## Louisiana 2.954252 3.434074 1.527269
## South Dakota 1.518854 1.304743 3.090805
## Iowa 0.000000 1.045923 2.734770
## North Dakota 1.045923 0.000000 3.563193
## Texas 2.734770 3.563193 0.000000dist.mah_matrix <- as.matrix(dist.mah)Vektor Rata-rata
Vektor rata-rata merupakan vektor yang setiap elemennya merupakan nilai rata-rata dari elemen yang bersesuaian pada sekumpulan vektor.
Berikut adalah data yang akan dipakai :
BB = c(6.2,11.5,8.7,10.1,7.8,6.9,12.0,3.1,14.8,9.4)
PM = c(61,73,68,70,64,60,76,49,84,71)
RTB = c(115,138,127,123,131,120,143,95,160,128)
lizard = as.matrix(cbind(BB,PM,RTB)); lizard## BB PM RTB
## [1,] 6.2 61 115
## [2,] 11.5 73 138
## [3,] 8.7 68 127
## [4,] 10.1 70 123
## [5,] 7.8 64 131
## [6,] 6.9 60 120
## [7,] 12.0 76 143
## [8,] 3.1 49 95
## [9,] 14.8 84 160
## [10,] 9.4 71 128Matriks Rata-rata
Matriks rata-rata adalah sebuah matriks tunggal yang merepresentasikan rata-rata dari sekumpulan matriks dengan syarat matriks tersebut harus memiliki dimensi yang sama.
Berikut cara mencari matriks rata-rata di software R :
vecMeans = as.matrix(colMeans(lizard)); vecMeans## [,1]
## BB 9.05
## PM 67.60
## RTB 128.00vecRata = matrix(c(mean(BB), mean(PM), mean(RTB)), nrow=3, ncol=1); vecRata## [,1]
## [1,] 9.05
## [2,] 67.60
## [3,] 128.00Matriks Kovarians
Matriks kovarians adalah matriks persegi yang merangkum arah hubungan linear antara setiap pasangan variabel dalam suatu dataset. Secara sederhana, matriks ini menunjukkan bagaimana setiap variabel bervariasi dengan dirinya sendiri (varians) dan bagaimana setiap variabel bervariasi dengan variabel lainnya (kovarians).
Berikut cara mencari matriks kovarians di software R :
varkov = cov(lizard); varkov## BB PM RTB
## BB 10.98056 31.80000 54.96667
## PM 31.80000 94.04444 160.22222
## RTB 54.96667 160.22222 300.66667Matriks Korelasi
Matriks korelasi adalah matriks persegi yang menunjukkan kekuatan dan arah hubungan linear antara setiap pasangan variabel dalam suatu dataset. Matriks ini merupakan versi terstandarisasi dari matriks kovarians sehingga nilainya lebih mudah diinterpretasikan.
Berikut cara mencari matriks korelasi di software R :
korel = cor(lizard); korel## BB PM RTB
## BB 1.0000000 0.9895743 0.9566313
## PM 0.9895743 1.0000000 0.9528259
## RTB 0.9566313 0.9528259 1.0000000Matriks Standarisasi
Matriks standarisasi adalah sebuah matriks data di mana setiap kolomnya telah distandarisasi sehingga rata-ratanya 0 dan simpangan bakunya 1.Tujuannya adalah untuk membuat semua variabel dalam dataset berada pada skala yang sama sehingga tidak ada variabel yang mendominasi hanya karena memiliki skala nilai yang lebih besar.
Berikut cara mengstandarisasi matriks di software R :
n = nrow(lizard);n## [1] 10u = matrix(1,n,1); u## [,1]
## [1,] 1
## [2,] 1
## [3,] 1
## [4,] 1
## [5,] 1
## [6,] 1
## [7,] 1
## [8,] 1
## [9,] 1
## [10,] 1xbar = cbind((1/n)*t(u)%*%lizard); xbar## BB PM RTB
## [1,] 9.05 67.6 128D = lizard - u %*% xbar; D## BB PM RTB
## [1,] -2.85 -6.6 -13
## [2,] 2.45 5.4 10
## [3,] -0.35 0.4 -1
## [4,] 1.05 2.4 -5
## [5,] -1.25 -3.6 3
## [6,] -2.15 -7.6 -8
## [7,] 2.95 8.4 15
## [8,] -5.95 -18.6 -33
## [9,] 5.75 16.4 32
## [10,] 0.35 3.4 0S = (1/(n-1))*t(D)%*%D; S## BB PM RTB
## BB 10.98056 31.80000 54.96667
## PM 31.80000 94.04444 160.22222
## RTB 54.96667 160.22222 300.66667Ds = diag(sqrt(diag(S))); Ds## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 3.313692 0.000000 0.00000
## [2,] 0.000000 9.697651 0.00000
## [3,] 0.000000 0.000000 17.33974R = solve(Ds) %*% S %*% solve(Ds); R## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1.0000000 0.9895743 0.9566313
## [2,] 0.9895743 1.0000000 0.9528259
## [3,] 0.9566313 0.9528259 1.0000000