Distribución Binomial

Información

  • Parámetros: \(n\) (ensayos), \(p\) (probabilidad de éxito).

  • Variable aleatoria: \(X\) = número de éxitos en \(n\) ensayos.

  • Función de probabilidad:
    \[ P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}, \quad k=0,1,\dots,n \]

  • Función de distribución acumulada:
    \[ F(k)=\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}p^i(1-p)^{n-i} \]

  • Esperanza: \(E[X]=np\)

  • Varianza: \(Var(X)=np(1-p)\)

Uso: Se aplica cuando hay ensayos independientes con dos posibles resultados: éxito o fracaso.

Ejemplo

n <- 5; p <- 0.3
x <- 0:n
tabla_binom <- data.frame(
  X = x,
  Probabilidad = dbinom(x, size = n, prob = p),
  Acumulada = pbinom(x, size = n, prob = p)
)
tabla_binom
##   X Probabilidad Acumulada
## 1 0      0.16807   0.16807
## 2 1      0.36015   0.52822
## 3 2      0.30870   0.83692
## 4 3      0.13230   0.96922
## 5 4      0.02835   0.99757
## 6 5      0.00243   1.00000

Distribución Binomial Negativa (Pascal)

Información

  • Parámetros: \(r\) (éxitos deseados), \(p\) (probabilidad de éxito).

  • Variable aleatoria: \(X\) = número de fracasos antes de \(r\) éxitos.

  • Función de probabilidad:
    \[ P(X=k)=\binom{k+r-1}{r-1}(1-p)^k p^r, \quad k=0,1,2,\dots \]

  • Función de distribución acumulada:
    \[ F(k)=\sum_{i=0}^k \binom{i+r-1}{r-1}(1-p)^i p^r \]

  • Esperanza: \(E[X]=\frac{r(1-p)}{p}\)

  • Varianza: \(Var(X)=\frac{r(1-p)}{p^2}\)

Uso: Cuando contamos el número de fracasos hasta alcanzar cierto número de éxitos.

Ejemplo

r <- 3; p <- 0.4
x <- 0:7
tabla_bneg <- data.frame(
  X = x,
  Probabilidad = dnbinom(x, size = r, prob = p),
  Acumulada = pnbinom(x, size = r, prob = p)
)
tabla_bneg
##   X Probabilidad Acumulada
## 1 0   0.06400000 0.0640000
## 2 1   0.11520000 0.1792000
## 3 2   0.13824000 0.3174400
## 4 3   0.13824000 0.4556800
## 5 4   0.12441600 0.5800960
## 6 5   0.10450944 0.6846054
## 7 6   0.08360755 0.7682130
## 8 7   0.06449725 0.8327102

Distribución Geométrica

Información

  • Parámetro: \(p\) (probabilidad de éxito).

  • Variable aleatoria: \(X\) = número de fracasos antes del primer éxito.

  • Función de probabilidad:
    \[ P(X=k)=(1-p)^k p, \quad k=0,1,2,\dots \]

  • Función de distribución acumulada:
    \[ F(k)=1-(1-p)^{k+1} \]

  • Esperanza: \(E[X]=\frac{1-p}{p}\)

  • Varianza: \(Var(X)=\frac{1-p}{p^2}\)

Uso: Modela el número de intentos hasta el primer éxito.

Ejemplo

p <- 0.25
x <- 0:7
tabla_geom <- data.frame(
  X = x,
  Probabilidad = dgeom(x, prob = p),
  Acumulada = pgeom(x, prob = p)
)
tabla_geom
##   X Probabilidad Acumulada
## 1 0   0.25000000 0.2500000
## 2 1   0.18750000 0.4375000
## 3 2   0.14062500 0.5781250
## 4 3   0.10546875 0.6835938
## 5 4   0.07910156 0.7626953
## 6 5   0.05932617 0.8220215
## 7 6   0.04449463 0.8665161
## 8 7   0.03337097 0.8998871

Distribución Hipergeométrica

Información

  • Parámetros: \(N\) (población), \(M\) (éxitos en la población), \(n\) (tamaño de la muestra).

  • Variable aleatoria: \(X\) = número de éxitos en la muestra.

  • Función de probabilidad:
    \[ P(X=k)=\frac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}, \quad \max(0,n-(N-M)) \leq k \leq \min(n,M) \]

  • Esperanza: \(E[X]=n\frac{M}{N}\)

  • Varianza:
    \[ Var(X)=n\frac{M}{N}\left(1-\frac{M}{N}\right)\frac{N-n}{N-1} \]

Uso: Se aplica cuando se extraen muestras sin reemplazo de una población finita.

Ejemplo

N <- 20; M <- 7; n <- 5
x <- 0:n
tabla_hiper <- data.frame(
  X = x,
  Probabilidad = dhyper(x, M, N-M, n),
  Acumulada = phyper(x, M, N-M, n)
)
tabla_hiper
##   X Probabilidad  Acumulada
## 1 0  0.083010836 0.08301084
## 2 1  0.322819917 0.40583075
## 3 2  0.387383901 0.79321465
## 4 3  0.176083591 0.96929825
## 5 4  0.029347265 0.99864551
## 6 5  0.001354489 1.00000000

Distribución Poisson

Información

  • Parámetro: \(\lambda > 0\) (número esperado de sucesos).

  • Variable aleatoria: \(X\) = número de sucesos en un intervalo.

  • Función de probabilidad:
    \[ P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}, \quad k=0,1,2,\dots \]

  • Esperanza: \(E[X]=\lambda\)

  • Varianza: \(Var(X)=\lambda\)

Uso: Modela el número de sucesos raros en un intervalo de tiempo o espacio.

Ejemplo

lambda <- 3
x <- 0:10
tabla_pois <- data.frame(
  X = x,
  Probabilidad = dpois(x, lambda),
  Acumulada = ppois(x, lambda)
)
tabla_pois
##     X Probabilidad  Acumulada
## 1   0 0.0497870684 0.04978707
## 2   1 0.1493612051 0.19914827
## 3   2 0.2240418077 0.42319008
## 4   3 0.2240418077 0.64723189
## 5   4 0.1680313557 0.81526324
## 6   5 0.1008188134 0.91608206
## 7   6 0.0504094067 0.96649146
## 8   7 0.0216040315 0.98809550
## 9   8 0.0081015118 0.99619701
## 10  9 0.0027005039 0.99889751
## 11 10 0.0008101512 0.99970766

Distribución Uniforme Discreta

Información

  • Parámetros: Soporte \(\{a,a+1,\dots,b\}\), con \(a \leq b\), \(n=b-a+1\).

  • Variable aleatoria: \(X\) = valor entero entre \(a\) y \(b\).

  • Función de probabilidad:
    \[ P(X=k)=\frac{1}{n}, \quad k=a,a+1,\dots,b \]

  • Función de distribución acumulada:
    \[ F(k)=\frac{k-a+1}{n}, \quad k=a,\dots,b \]

  • Esperanza: \(E[X]=\frac{a+b}{2}\)

  • Varianza: \(Var(X)=\frac{(n^2-1)}{12}\)

Uso: Se usa cuando todos los valores en un rango discreto son igualmente probables.

Ejemplo

a <- 1; b <- 6
x <- a:b
n <- b-a+1
tabla_unif <- data.frame(
  X = x,
  Probabilidad = rep(1/n, n),
  Acumulada = cumsum(rep(1/n, n))
)
tabla_unif
##   X Probabilidad Acumulada
## 1 1    0.1666667 0.1666667
## 2 2    0.1666667 0.3333333
## 3 3    0.1666667 0.5000000
## 4 4    0.1666667 0.6666667
## 5 5    0.1666667 0.8333333
## 6 6    0.1666667 1.0000000

```