Distribución geométrica con p

Fórmulas de la distribución geométrica

  • Función de probabilidad (PMF):

\[ P(X = x) = (1 - p)^{\,x-1}\,p, \quad x = 1,2,3,\ldots \]

  • Función de distribución acumulada (CDF):

\[ P(X \leq x) = 1 - (1 - p)^{\,x}, \quad x = 1,2,3,\ldots \]

  • Esperanza (media):

\[ E[X] = \frac{1}{p} \]

  • Varianza:

\[ Var(X) = \frac{1-p}{p^2} \]

Aquí, \(p\) es la probabilidad de éxito en un solo ensayo, y \(1-p\) es la probabilidad de fracaso.

Ejemplo:

Una máquina tiene probabilidad \(p = 0.2\) de encender correctamente cada vez que se intenta. ¿Cuál es la probabilidad de que se necesiten exactamente 3 intentos para lograr el primer encendido?

  • Aplicando la PMF:

\[ P(X = 3) = (1 - 0.2)^{3-1} \cdot 0.2 = (0.8)^2 \cdot 0.2 = 0.128 \]

Es decir, hay un 12.8% de probabilidad de que la máquina funcione recién en el tercer intento.

Simulación en R

# Parámetro de la distribución
p <- 0.2

# Valores posibles de X
x <- 1:10

# Probabilidades usando la PMF
prob <- dgeom(x - 1, prob = p)   # Nota: en R, dgeom cuenta fracasos antes del éxito

# Tabla de probabilidades
data.frame(Intento = x, Probabilidad = prob)
##    Intento Probabilidad
## 1        1   0.20000000
## 2        2   0.16000000
## 3        3   0.12800000
## 4        4   0.10240000
## 5        5   0.08192000
## 6        6   0.06553600
## 7        7   0.05242880
## 8        8   0.04194304
## 9        9   0.03355443
## 10      10   0.02684355
# Gráfico de la distribución
barplot(prob, names.arg = x,
        main = "Distribución Geométrica (p=0.2)",
        xlab = "Número de intentos hasta el primer éxito",
        ylab = "Probabilidad",
        col = "skyblue")

Distribución Binomial Negativa con parámetros r y p

Fórmulas de la distribución binomial negativa

  • Función de probabilidad (PMF):

\[ P(X = x) = \binom{x-1}{r-1}\, p^r \, (1-p)^{x-r}, \quad x = r, r+1, r+2,\ldots \]

  • \(x\) = número total de ensayos hasta alcanzar el éxito número \(r\).

  • \(r\) = número de éxitos requeridos.

  • \(p\) = probabilidad de éxito en un ensayo.

  • Función de distribución acumulada (CDF):

\[ P(X \leq x) = \sum_{k=r}^{x} \binom{k-1}{r-1}\, p^r (1-p)^{k-r} \]

  • Esperanza (media):

\[ E[X] = \frac{r}{p} \]

  • Varianza:

\[ Var(X) = \frac{r(1-p)}{p^2} \]

Ejemplo:

Un equipo de ventas necesita lograr \(r = 3\) contratos. Cada llamada tiene probabilidad de éxito \(p = 0.4\).

¿Cuál es la probabilidad de que logren el 3er contrato en la 5ta llamada?

  • Aplicando la PMF:

\[ P(X = 5) = \binom{5-1}{3-1}(0.4)^3(0.6)^{2} = \binom{4}{2}(0.4)^3(0.6)^2 = 6 \cdot 0.064 \cdot 0.36 = 0.138 \]

Es decir, hay un 13.8% de probabilidad de que el tercer contrato llegue exactamente en la quinta llamada.

Simulación en R

# Parámetros
r <- 3     # número de éxitos requeridos
p <- 0.4   # probabilidad de éxito en cada ensayo

# Valores posibles de X (número total de ensayos hasta lograr r éxitos)
x <- r:15

# Probabilidades con la PMF
prob <- dnbinom(x - r, size = r, prob = p)  # Nota: R cuenta fallos antes del éxito r

# Tabla de probabilidades
data.frame(Intentos_totales = x, Probabilidad = prob)
##    Intentos_totales Probabilidad
## 1                 3   0.06400000
## 2                 4   0.11520000
## 3                 5   0.13824000
## 4                 6   0.13824000
## 5                 7   0.12441600
## 6                 8   0.10450944
## 7                 9   0.08360755
## 8                10   0.06449725
## 9                11   0.04837294
## 10               12   0.03547349
## 11               13   0.02554091
## 12               14   0.01811083
## 13               15   0.01267758
# Gráfico de la distribución
barplot(prob, names.arg = x,
        main = paste("Distribución Binomial Negativa (r =", r, ", p =", p, ")"),
        xlab = "Número de intentos hasta el r-ésimo éxito",
        ylab = "Probabilidad",
        col = "salmon")

Distribución de Poisson con parámetro λ

Fórmulas de la distribución de Poisson

  • Función de probabilidad (PMF):

\[ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \, \lambda^k}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots \]

  • Esperanza (media):

\[ E[X] = \lambda \]

  • Varianza:

\[ Var(X) = \lambda \]

Ejemplo:

En una central de emergencias llegan en promedio \(\lambda = 4\) llamadas por hora.

¿Cuál es la probabilidad de que en una hora se reciban exactamente 6 llamadas?

  • Aplicando la PMF:

\[ P(X = 6) = \frac{e^{-4} \cdot 4^6}{6!} = \frac{e^{-4} \cdot 4096}{720} \approx 0.104 \]

Es decir, hay aproximadamente un 10.4% de probabilidad de que en una hora lleguen exactamente 6 llamadas.

Simulación en R

# Parámetro
lambda <- 4   # tasa promedio de ocurrencia

# Valores posibles de X
x <- 0:15

# Probabilidades usando la PMF
prob <- dpois(x, lambda)

# Tabla de probabilidades
data.frame(Eventos = x, Probabilidad = prob)
##    Eventos Probabilidad
## 1        0 1.831564e-02
## 2        1 7.326256e-02
## 3        2 1.465251e-01
## 4        3 1.953668e-01
## 5        4 1.953668e-01
## 6        5 1.562935e-01
## 7        6 1.041956e-01
## 8        7 5.954036e-02
## 9        8 2.977018e-02
## 10       9 1.323119e-02
## 11      10 5.292477e-03
## 12      11 1.924537e-03
## 13      12 6.415123e-04
## 14      13 1.973884e-04
## 15      14 5.639669e-05
## 16      15 1.503912e-05
# Gráfico de la distribución
barplot(prob, names.arg = x,
        main = paste("Distribución de Poisson (λ =", lambda, ")"),
        xlab = "Número de eventos en el intervalo",
        ylab = "Probabilidad",
        col = "lightgreen")