1 Distribución Geométrica

1.0.1 Definición

La distribución geométrica modela el número de ensayos necesarios hasta obtener el primer éxito en experimentos de Bernoulli independientes con probabilidad de éxito \(p\), donde \(0 < p < 1\).

Valores posibles:
\[ X = 1, 2, 3, \dots \]

1.0.2 Función de probabilidad

\[ P(X = k) = f(k) = (1-p)^{k-1}p, \qquad k=1,2,3,\ldots \]

1.0.3 Función de distribución acumulada

\[3 F(t) = P(X \leq t) = 1-(1-p)^t \]

1.0.4 Esperanza y varianza

\[ E(X) = \frac{1}{p}, \qquad V(X) = \frac{1-p}{p^2} \]

Ejemplo: Enunciado

Una moneda tiene probabilidad de salir cara \(p=0.4\). Sea \(X\) el número de lanzamientos necesarios hasta obtener la primera cara. Calcular:

  1. La probabilidad de que el primer éxito ocurra en el tercer intento: \(P(X=3)\).
  2. La probabilidad de que el primer éxito ocurra antes o en el tercer intento: \(P(X\le 3)\).
  3. La esperanza, varianza y desviación estándar de \(X\).
##            Medida    Valor
## 1  P(X=k) formula 0.144000
## 2    P(X=k) dgeom 0.144000
## 3 F(X<=k) formula 0.784000
## 4   F(X<=k) pgeom 0.784000
## 5            E[X] 2.500000
## 6          Var(X) 3.750000
## 7           SD(X) 1.936492

2 Distribución Binomial Negativa

2.0.1 Definición

La distribución binomial negativa modela el número de ensayos necesarios hasta obtener \(r\) éxitos en experimentos de Bernoulli independientes, con probabilidad de éxito \(p\).

Valores posibles:
\[ X = r, r+1, r+2, \dots \]

2.0.2 Función de probabilidad

\[ P(X = k) = \binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r}, \qquad k=r,r+1,\ldots \]

2.0.3 Función de distribución acumulada

\[ F(t) = P(X \leq t) = \sum_{k=r}^t \binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r} \]

2.0.4 Esperanza y varianza

\[ E(X) = \frac{r}{p}, \qquad V(X) = \frac{r(1-p)}{p^2} \]

Ejemplo: Enunciado

Una máquina produce piezas buenas con probabilidad \(p=0.8\). Sea \(X\) el número de piezas inspeccionadas hasta obtener \(r=3\) piezas buenas. Calcular:

  1. La probabilidad de que se necesiten exactamente 5 piezas: \(P(X=5)\).
  2. La probabilidad de que se necesiten como máximo 5 piezas: \(P(X \leq 5)\).
  3. La esperanza, varianza y desviación estándar de \(X\).
##            Medida     Valor
## 1  P(X=k) formula 0.1228800
## 2  P(X=k) dnbinom 0.1228800
## 3 F(X<=k) formula 0.9420800
## 4 F(X<=k) pnbinom 0.9420800
## 5            E[X] 3.7500000
## 6          Var(X) 0.9375000
## 7           SD(X) 0.9682458

3 Distribución de Poisson

3.0.1 Definición

La distribución de Poisson modela el número de ocurrencias de un evento en un intervalo de tiempo o espacio, cuando los sucesos son independientes y ocurren con una tasa promedio constante \(\lambda > 0\).

Valores posibles:
\[ X = 0, 1, 2, \ldots \]

3.0.2 Función de probabilidad

\[ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}, \qquad k=0,1,2,\ldots \]

3.0.3 Función de distribución acumulada

\[ F(t) = P(X \leq t) = \sum_{k=0}^t \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} \]

3.0.4 Esperanza y varianza

\[ E(X) = \lambda, \qquad V(X) = \lambda \]

Ejemplo: Enunciado

Se sabe que en promedio ocurren \(\lambda = 4\) llamadas a un call center por hora. Sea \(X\) el número de llamadas en una hora. Calcular:

  1. La probabilidad de que ocurran exactamente 2 llamadas: \(P(X=2)\).
  2. La probabilidad de que ocurran como máximo 2 llamadas: \(P(X \leq 2)\).
  3. La probabilidad de que ocurran más de 2 llamadas: \(P(X > 2)\).
  4. La esperanza, varianza y desviación estándar de \(X\).
##            Medida     Valor
## 1  P(X=2) formula 0.1465251
## 2    P(X=2) dpois 0.1465251
## 3 F(X<=2) formula 0.2381033
## 4   F(X<=2) ppois 0.2381033
## 5  P(X>2) formula 0.7618967
## 6    P(X>2) ppois 0.7618967
## 7            E[X] 4.0000000
## 8          Var(X) 4.0000000
## 9           SD(X) 2.0000000

4 Distribución Uniforme Discreta

4.0.1 Definición

La distribución uniforme discreta modela una variable aleatoria que puede tomar \(n\) valores enteros consecutivos con igual probabilidad.
Si los valores posibles son \(\{a, a+1, \ldots, b\}\), entonces:

Valores posibles:
\[ X = a, a+1, \ldots, b \] donde \(n = b-a+1\).

4.0.2 Función de probabilidad

\[ P(X = k) = \frac{1}{n}, \qquad k=a, a+1, \ldots, b \]

4.0.3 Función de distribución acumulada

\[ F(t) = P(X \leq t) = \begin{cases} 0, & t < a \\ \dfrac{\lfloor t \rfloor - a + 1}{n}, & a \leq t \leq b \\ 1, & t \geq b \end{cases} \]

4.0.4 Esperanza y varianza

\[ E(X) = \frac{a+b}{2}, \qquad V(X) = \frac{(n^2 - 1)}{12} \]

Ejemplo: Enunciado

Un dado justo de seis caras tiene valores posibles \(X = \{1,2,3,4,5,6\}\). Calcular:

  1. La probabilidad de que salga un 4: \(P(X=4)\).
  2. La probabilidad de que el valor sea menor o igual que 3: \(P(X \leq 3)\).
  3. La probabilidad de que el valor sea mayor que 4: \(P(X > 4)\).
  4. La esperanza, varianza y desviación estándar de \(X\).
##    Medida     Valor
## 1  P(X=4) 0.1666667
## 2 P(X<=3) 0.5000000
## 3  P(X>4) 0.3333333
## 4    E[X] 3.5000000
## 5  Var(X) 2.9166667
## 6   SD(X) 1.7078251