Taller Práctico - Parte II

¡Resolvamos!

Situación problema 1:

Una alcaldía desea estimar el tiempo medio de atención por trámite. Si la población de trámites tiene μ=20 minutos y σ =5 minutos, y se toman muestras aleatorias de n=49 trámites.

*¿Cuál es la probabilidad que el promedio esté entre 19 y 21 minutos?

• Grafica la distribución y sombrea el área de interés.

¿Cuál es la probabilidad que el promedio esté entre 19 y 21 minutos?

# Parámetros de la población
mu <- 20
sigma <- 5
n <- 49

# Error estándar
sigma_xbar <- sigma / sqrt(n)

# Intervalo de interés
x1 <- 19
x2 <- 21

# Probabilidad de que la media muestral esté entre 19 y 21
prob <- pnorm(x2, mean = mu, sd = sigma_xbar) - pnorm(x1, mean = mu, sd = sigma_xbar)
prob

[1] 0.8384867

# Mostrar resultado
cat("La probabilidad de que el promedio de atención esté entre 19 y 21 minutos es:", round(prob, 4), "\n")

La probabilidad de que el promedio de atención esté entre 19 y 21 minutos es: 0.8385 

Grafica la distribución y sombrea el área de interés.

# Graficar distribución muestral de la media
x <- seq(mu - 4*sigma_xbar, mu + 4*sigma_xbar, length = 1000)
y <- dnorm(x, mean = mu, sd = sigma_xbar)

plot(x, y, type = "l", lwd = 2, col = "blue",
     main = "Distribución muestral de la media del tiempo de atención",
     ylab = "Densidad", xlab = "Promedio de atención (minutos)")

# Sombrear área entre 19 y 21 minutos
x_fill <- seq(x1, x2, length = 100)
y_fill <- dnorm(x_fill, mean = mu, sd = sigma_xbar)
polygon(c(x_fill, rev(x_fill)), c(y_fill, rep(0, length(y_fill))),
        col = "skyblue", border = NA)

# Líneas verticales de los límites
abline(v = x1, col = "red", lty = 2)
abline(v = x2, col = "red", lty = 2)

# ---------------------------
# Mostrar porcentaje de probabilidad en la gráfica
prob_percent <- round(prob*100,2)       # Convertir a porcentaje
x_pos <- (x1 + x2)/2                     # Centro del intervalo
y_pos <- max(y_fill)*0.8                 # Posición vertical
text(x_pos, y_pos, labels = paste0(prob_percent, "%"), col = "darkblue", cex = 1.2)

Situación problema 2:

Se tiene que el 4% de las piezas producidas por cierta máquina es defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que un grupo de 200 piezas, el 3% más sea defectuosa? Grafica la distribución y sombrea el área de interés.

*¿Cuál es la probabilidad de que un grupo de 200 piezas, el 3% más sea defectuosa?

• Grafica la distribución y sombrea el área de interés.

¿Cuál es la probabilidad de que un grupo de 200 piezas, el 3% más sea defectuosa?

# Parámetros de la población
# Parámetros de la población
p <- 0.04        # proporción de piezas defectuosas
n <- 200         # tamaño de la muestra

# Error estándar de la proporción
sigma_phat <- sqrt(p * (1 - p) / n)

# Intervalo de interés: mayor a 0.03
x1 <- 0.03
x2 <- 1        # límite superior práctico

# Probabilidad de que la proporción muestral sea mayor a 0.03
prob <- pnorm(x2, mean = p, sd = sigma_phat) - pnorm(x1, mean = p, sd = sigma_phat)

Grafica la distribución y sombrea el área de interés.

# Graficar distribución muestral de la proporción
x <- seq(p - 4*sigma_phat, p + 4*sigma_phat, length = 1000)
y <- dnorm(x, mean = p, sd = sigma_phat)

plot(x, y, type = "l", lwd = 2, col = "blue",
     main = "Distribución muestral de la proporción de piezas defectuosas",
     ylab = "Densidad", xlab = "Proporción de piezas defectuosas")

# Sombrear área de interés (mayor a 0.03)
x_fill <- seq(x1, max(x), length = 100)
y_fill <- dnorm(x_fill, mean = p, sd = sigma_phat)
polygon(c(x_fill, rev(x_fill)), c(y_fill, rep(0, length(y_fill))),
        col = "skyblue", border = NA)

# Líneas verticales de los límites
abline(v = x1, col = "red", lty = 2)

# ---------------------------
# Mostrar porcentaje de probabilidad en la gráfica
prob_percent <- round(prob*100,2)       # Convertir a porcentaje
x_pos <- (x1 + max(x))/2                # Centro del área sombreada
y_pos <- max(y_fill)*0.8                # Posición vertical del texto
text(x_pos, y_pos, labels = paste0(prob_percent, "%"), col = "darkblue", cex = 1.2)

# ---------------------------
# Mostrar resultado en consola
cat("La probabilidad de que la proporción de piezas defectuosas sea mayor a 3% es:", round(prob, 4), "\n")

La probabilidad de que la proporción de piezas defectuosas sea mayor a 3% es: 0.7648