Distribución Normal

Author

Yenifer Tobio

Repaso de la sesión 2

Situación problema

Una empresa de enlatados produce frascos de mermelada cuyo peso se distribuye normalmente con una media de 350 gramos y una desviación estándar de 5 gramos. Un control de calidad requiere que el 99.7% de los frascos pesen entre 335 y 365 gramos.

  • ¿Cuál es la probabilidad de que un frasco seleccionado al azar pese entre 345 y 355 gramos?

  • Grafica la distribución y sombrea el área de interés.

  • Analizar y contrastar los resultados obtenidos mediante cálculos manuales con los generados en R Studio, identificando similitudes, diferencias y la eficiencia de cada método.

¿Cuál es la probabilidad de que un frasco seleccionado al azar pese entre 345 y 355 gramos?

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# 1️⃣ Definir parámetros de la distribución
mu <- 350      # media
sigma <- 5     # desviación estándar

# Intervalo de interés
x1 <- 345
x2 <- 355
# ---------------------------
# 2️⃣ Calcular la probabilidad P(345 ≤ X ≤ 355)
prob <- pnorm(x2, mean = mu, sd = sigma) - pnorm(x1, mean = mu, sd = sigma)
prob
[1] 0.6826895
# Mostrar resultado
cat("La probabilidad de que un frasco pese entre 345 y 355 gramos es:", round(prob, 4), "\n")
La probabilidad de que un frasco pese entre 345 y 355 gramos es: 0.6827

Grafica la distribución y sombrea el área de interés.

# 3️⃣ Graficar la distribución normal y sombrear el área de interés
x <- seq(mu - 4*sigma, mu + 4*sigma, length = 1000)
y <- dnorm(x, mean = mu, sd = sigma)

# Graficar la curva de densidad
plot(x, y, type = "l", lwd = 2, col = "blue",
     main = "Distribución normal del peso de frascos",
     ylab = "Densidad", xlab = "Peso (gramos)")

# Sombrear el área entre x1 y x2
x_fill <- seq(x1, x2, length = 100)
y_fill <- dnorm(x_fill, mean = mu, sd = sigma)
polygon(c(x_fill, rev(x_fill)), c(y_fill, rep(0, length(y_fill))),
        col = "skyblue", border = NA)

# Agregar líneas verticales para el intervalo sombreado
abline(v = x1, col = "red", lty = 2)
abline(v = x2, col = "red", lty = 2)

# ---------------------------
# Agregar el porcentaje de probabilidad sobre la gráfica
prob_percent <- round(prob * 100, 2)  # Convertir a porcentaje
y_pos <- max(y_fill) * 0.8            # Posición vertical del texto
x_pos <- (x1 + x2)/2                   # Posición horizontal (centro del área sombreada)
text(x_pos, y_pos, labels = paste0(prob_percent, "%"), col = "darkblue", cex = 1.2)

Analizar y contrastar los resultados obtenidos mediante cálculos manuales con los generados en R Studio, identificando similitudes, diferencias y la eficiencia de cada método.

Análisis y contraste de resultados:

Al calcular la probabilidad de que un frasco pese entre 345 y 355 gramos:

  • Cálculo manual: se obtuvo una probabilidad de 0,6826.

  • Cálculo en R Studio: se obtuvo el mismo valor (aproximadamente 0,6826).

Similitudes:
  • Ambos métodos arrojan resultados prácticamente idénticos, lo que confirma la precisión de los cálculos.
Diferencias:
  • El cálculo manual requiere tablas de distribución normal o fórmulas, mientras que R Studio lo hace de manera automática y más rápida.
Eficiencia:
  • R Studio permite realizar cálculos repetidos, simulaciones y graficar distribuciones en segundos, lo que lo hace más eficiente y práctico para problemas complejos o grandes volúmenes de datos.