Geometría
JTilano
2025-06-19
PRIMER PERIODO
En el primer periodo se trabajan las unidades de medida con material manipulativo, desde primer grado hasta noveno grado.
GRADO: PRIMERO
GRADO: SEGUNDO
GRADO: TERCERO
GRADO: CUARTO
GRADO: QUINTO
GRADO: SEXTO
GRADO: SEPTIMO
GRADO: OCTAVO
GRADO: NOVENO
SEGUNDO PERIODO
En el segundo periodo se trabajan las magnitudes como núcleo temático, desde primer grado de primaria hasta noveno grado, favoreciendo el conocimiento de distintos sistemas de medición y la conversión de unidades entre estos.
GRADO: PRIMERO
GRADO: SEGUNDO
GRADO: TERCERO
GRADO: CUARTO
GRADO: QUINTO
GRADO: SEXTO
GRADO: SEPTIMO
Elementos de los poliedros
Entre los poliedros, se encuentran principalmente: la pirámide, el cuboide, el cubo y la pirámide truncada o tronco de pirámide.
Los elementos principales de los poliedros son: los vértices, las aristas y las caras.
Por ejemplo, la pirámide que tiene como base un polígono de n lados, tiene \(n+1\) vértices, \(2*n\) aristas y \(n+1\) caras (una base y n caras laterales).
El cuboide y el cubo no son iguales, pero tienen exactamente el mismo número de vértices, de aristas y de caras.
En el caso de este poliedro, son 8 vértices, 12 aristas y 6 caras (un ejemplo de cubo es el dado).
La pirámide truncada o tronco de pirámide, con bases de n lados, tiene \(2*n\) vértices, \(3*n\) aristas y \(n+2\) caras.
Ejemplo: En una pirámide pentagonal, en una pirámide hexagonal truncada y en una pirámide truncada de 6 vértices; forme una tabla donde se diga el número de vértices, el número de aristas y el número de caras de cada sólido.
Detalles y explicaciones:
\(\textbf{Pirámide pentagonal}\):
Base: un pentágono (5 lados).
Un vértice adicional (el ápice).
\(V =6\) (5 base y 1 ápice)
\(A = 10\) ( 5 base y 5 laterales)
\(C = 6\) (1 base y 5 triángulos laterales)
\(\textbf{Pirámide hexagonal truncada}\):
Se obtiene al cortar una pirámide hexagonal con un plano paralelo a la base.
Tiene dos bases: una hexagonal mayor y otra menor.
Laterales: 6 trapecios.
\(V = 12\) (6 base inferior y 6 base superior)
\(A = 18\) (6 base inferior, 6 base superior y 6 laterales)
\(C = 8\) (2 bases y 6 trapecios laterales)
\(\textbf{Pirámide truncada de 6 vértices}\):
Tener 6 vértices sugiere un sólido más pequeño o degenerado. Por ejemplo, si una pirámide cuadrada se trunca dejando una base menor triangular (lo cual es irregular).
Podría tratarse de un sólido con:
3 vértices en cada base (base triangular truncada).
3 caras laterales (trapecios).
\(V = 6\)
\(A = 9\) (3 por cada base y 3 laterales)
\(C = 5\) (dos bases y 3 caras laterales)
Tabla corregida:
c1=c("Solido","Vertices", "Aristas", "Caras")
c2=c("Piramide pentagonal", 6, 10, 6)
c3=c("Piramide hexagonal truncada", 12, 18, 8)
c4=c("Piramide truncada de 6 vertices",6, 9, 5)
cc=rbind(c1,c2,c3,c4)
cc## [,1] [,2] [,3] [,4]
## c1 "Solido" "Vertices" "Aristas" "Caras"
## c2 "Piramide pentagonal" "6" "10" "6"
## c3 "Piramide hexagonal truncada" "12" "18" "8"
## c4 "Piramide truncada de 6 vertices" "6" "9" "5"Ejercicio 1: En una pirámide heptagonal, en una pirámide octagonal truncada y en una pirámide cuadrangular truncada; forme una tabla donde se diga el número de vértices, el número de aristas y el número de caras de cada sólido.
Movimientos en el Plano
Para entender los movimientos en el plano, se explican las 4 transformaciones básicas: Traslación, Reflexión, Rotación y Homotecia.
En principio, se trabajan traslaciones de unidades enteras y puede ser hacia arriba o hacia abajo, hacia la izquierda o hacia la derecha. Una traslación consiste en mover la figura manteniendo la ubicación y tamaño de los objetos.
La reflexión la trataremos como la búsqueda de ejes o puntos de simetría. En este caso, la reflexión se hará principalmente por los ejes y el origen. En el plano una reflexión sobre el eje \(\textbf{y}\) cambia los signos de la primera componente llamada abcisas; una reflexión sobre el eje \(\textbf{x}\) cambia los signos de la segunda componente llamada ordenadas; y una reflexión sobre el origen cambiaría los signos de las dos componentes.
La rotación se define tomando un punto de rotación, generalmente, un vértice de la figura. Al hacer rotación se marcan 3 elementos: el punto pivote, el ángulo de la rotación y el sentido de la rotación ya sea sentido horario o de las manecillas del reloj o antihorario.
La homotecia se refiere a la ampliación o reducción de figuras manteniendo la proporción y los ángulos de la figura. Se forma una figura semejante a la original, lo que varía es el tamaño.
Ejemplo: Una figura triangular con vértices \(A(1,1)\), \(B(5,2)\) y \(C(3,4)\). Haga los siguientes movimientos diciendo los nuevos vértices, visualizando el plano cartesiano.
Trasladar 2 unidades hacia abajo y 4 unidades a la derecha.
Reflejar sobre los ejes y el origen.
Rotar 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj por el punto A.
Ampliar la figura cuadruplicando el área, manteniendo el vértice A.
Solución
- Para trasladar 2 unidades hacia abajo resto 2 a la segunda componente, y para trasladar 4 unidades a la derecha se suma 4 a la primera componente.
Los vértices quedan \(A'(5,-1)\), \(B'(9,0)\) y \(C'(7,2)\).
- Para reflejar sobre el eje y, se cambia el signo a la primera componente.
Los vértices quedan \(A'(-1,1)\), \(B'(-5,2)\) y \(C'(-3,4)\).
Para reflejar sobre el eje x, se cambia el signo a la segunda componente.
Los vértices quedan \(A'(1,-1)\), \(B'(5,-2)\) y \(C'(3,-4)\).
Para reflejar sobre el origen, se cambia el signo a la primera componente y de la segunda componente.
Los vértices quedan \(A'(-1,-1)\), \(B'(-5,-2)\) y \(C'(-3,-4)\).
- Para efectuar la rotación 90° en el sentido antihorario, por un punto \((x_0,y_0)\) se usará el formato
\((x', y')=(x_0−(y−y_0),y_0+(x−x_0))\)
Bien, usando los datos y las condiciones, el punto A se mantiene.
\(B(5,2)\) se transforma en \(B'(0,5)\).
\(C(3,4)\) se transforma en \(C'(-2,3)\).
- Regla de escalamiento desde A: \((x,y)=A+2(P-A)\)
Para cuadruplicar el área, manteniendo el vértice A y la posición de la figura, se duplican los lados. De este modo, se tienen los vértices \(A'(1,1)\), \(B'(9,3)\) y \(C'(5,7)\).
Pues, para \(B(5,2)\) se tiene
\((1,1)+2*(5-1,2-1)=(1,1)+2*(4,1)\), asi \((1,1)+(8,2)=(9,3)\).
Pues, para \(C(3,4)\) se tiene
\((1,1)+2*(3-1,4-1)=(1,1)+2*(2,3)\), asi \((1,1)+(4,6)=(5,7)\).
Ejercicio 2: Una figura triangular con vértices \(A(2,1)\), \(B(5,3)\) y \(C(3,6)\). Haga los siguientes movimientos diciendo los nuevos vértices, visualizando el plano cartesiano.
Trasladar 3 unidades hacia arriba y 1 unidad a la izquierda.
Reflejar sobre los ejes y el origen.
Rotar 90° en sentido igual a las manecillas del reloj por el punto A. Los nuevos puntos \((x', y')=(x_0+(y−y_0),y_0-(x−x_0))\), donde \(A(x_0,y_0)\) y los puntos originales \((x,y)\). Este movimiento es similar al anterior, pero con un cambio de los signos intermedios.
Ampliar la figura a 9 veces el área original, manteniendo el vértice A. Regla de escalamiento desde A: \((x,y)=A+3(P-A)\).
Ejercicio 3: Una figura triangular con vértices \(A(1,2)\), \(B(6,3)\) y \(C(4,5)\). Haga los siguientes movimientos diciendo los nuevos vértices, visualizando el plano cartesiano.
Trasladar 3 unidades hacia arriba y 2 unidad a la derecha.
Reflejar sobre los ejes y el origen.
Rotar 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj por el punto A. Los nuevos puntos \((x', y')=(x_0-(y−y_0),y_0+(x−x_0))\), donde \(A(x_0,y_0)\) y los puntos originales \((x,y)\). Este movimiento es similar al anterior, pero con un cambio de los signos intermedios.
Ampliar la figura a 16 veces el área original, manteniendo el vértice A. Regla de escalamiento desde A: \((x,y)=A+4(P-A)\).
GRADO: OCTAVO
Triángulos y sus generalidades
Un triángulo es un polígono formado por 3 puntos del plano no colineales. Existen dos criterios para clasificar los triángulos: uno, según sus lados, y el otro según sus ángulos.
Según los lados los triángulos puede ser: Equiláteros, Isosceles o Escalenos.
Los triángulos equiláteros son los que tienen 3 lados iguales o congruentes; los triángulos isósceles son aquellos que tienen dos lados iguales o congruentes; y los triángulos escalenos son aquellos que tienen 3 lados desiguales o que no son congruentes.
El triángulo anterior es un triángulo equilátero de longitud 6 unidades.
El triángulo anterior es un triángulo isosceles de base de longitud 6 unidades y altura 2 unidades.
El triángulo anterior es un triángulo escaleno con base 6 unidades y altura 2 unidades.
Según los ángulos, los triángulos pueden ser acutángulos, rectángulos u obtusángulos.
Los triángulos acutángulos son los que tienen sus tres ángulos agudos o menores de 90°, esto es, menores que un ángulo recto; los triángulos rectángulos son aquellos que tienen un ángulo recto o de 90°; y los triángulos obtusángulos son los que tienen un ángulo obtuso o mayor de 90°.
El triángulo anterior es un triángulo acutángulo de longitud 4 unidades en la base.
El triángulo anterior es un triángulo rectángulo de base 7 unidades y altura 5 unidades.
El triángulo anterior es un triángulo obtusángulo de base de longitud 10 unidades y altura 4 unidades.
Teoremas básicos de triángulos
\(\textbf{Teorema de ángulos internos}\)
La suma de los ángulos internos de cualquier triángulo equivale a dos ángulos rectos, esto es, la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°.
En este caso, los ángulos interiores del triángulo son: 78.69°, 39.81° y 61.5°. Se tiene que \(78.69+39.81+61.5=180\).
\(\textbf{Teorema del ángulo Externo}\)
Cualquier ángulo externo, aquel ángulo formado por un lado del triángulo y la prolongación del lado consecutivo en el respectivo vértice, es igual a la suma de los ángulos internos no adyacentes o no consecutivos.
En este caso, los ángulos interiores A y C del triángulo, en teoría, deberían sumar 141.29°. En esta representación la suma es aproximada porque el trazado del ángulo externo da una medida que es aproximada.
\(\textbf{Teorema de la Suma de ángulos externos}\)
La suma de ángulos externos de cualquier tríangulo es igual a la medida de 4 ángulos rectos, es decir, una suma de 360°.
En este caso, los ángulos externos son 128.39°, 90° opuesto por el vértice al ángulo \(\beta\) y el otro ángulo externo queda caracterizado como \(321.61°-180°=141.61°\). Al sumar los tres ángulos externos \(128.39°+90°+141.61°\) el resultado es exactamente 360°.
\(\textbf{Teorema de los ángulos complementarios}\)
Dos ángulos complemetarios son aquellos ángulos no negativos que suman 90°.
\(\textbf{Teorema de los ángulos suplementarios}\)
Dos ángulos suplemetarios son aquellos ángulos no negativos que suman 180°.
\(\textbf{Par lineal}\)
Dos ángulos que forman un par lineal son suplemetarios.
En este caso, los ángulos \(\alpha=<BCD\) y \(\beta=<ACD\) forman un par lineal, y por lo tanto son suplemetarios. Al sumar los dos ángulos el resultado es igual a 180°, esto es, \(135°+45°=180°\).
Ejercicio 1: Para los triángulos siguientes, resuelvo los siguientes puntos.
Clasifico el triángulo según los dos criterios vistos.
Determino los valores de las medidas de los ángulos internos.
Determino los valores de las medidas de los ángulos externos.
FIGURA 1
FIGURA 2
FIGURA 3
FIGURA 4
FIGURA 5
FIGURA 6
FIGURA 7
FIGURA 8
GRADO: NOVENO
Figuras y Cuerpos redondos
En el estudio de las figuras y de los cuerpos redondos, aparece el número pi, que tiene con 6 cifras decimales por truncamiento, el valor 3.141592.
Para las figuras redondas, la linea del contorno se llama circunferencia y la circunferencia con sus puntos interiores se llama círculo.
Por esto, es común hablar del perímetro de la circunferencia y del área del círculo.
Para el perímetro de la circunferencia con radio r y diámetro \(D=2r\), el perímetro es \(P=2\pi r\), que también es \(P=\pi D\). Esto indica una relación proporcional entre perímetro de una circunferencia cualquiera y su radio o su diámetro.
Para el área, se tiene \(A=\pi r^2\) o también \(A=\pi D^2/4\). En este caso la relación es cuadrática, es decir, el área aumenta proporcionalmente al cuadrado del radio o del diámetro.
Entre los sólidos redondos ocupan, especial interés: el cono, el cilindro, la esfera y el cono truncado de bases paralelas. Para el cono, el volumen es \(V_c=\frac{1}{3}\pi r^2 h\), donde r es el radio de la base y h la altura; para el cilindro, el volumen es \(V_l=\pi r^2 h\), donde r es el radio y h la altura; para la esfera, el volumen es \(V_e=\frac{4}{3}\pi r^3\), donde r es el radio; y para el cono truncado de bases paralelas, el volumen es \(V_t=\frac{1}{3}\pi h \left(R^2+r^2+Rr\right)\), donde R es el radio mayor, r el radio menor y h la altura. Menciono el área de la superficie esférica \(A_e=4\pi r^2\), y las otras quedan como indagación.
Ejercicio 1: Hallar el perímetro y área de un terreno circular de:
100 metros de diámetro
5 metros de radio
8 metros de radio
60 metros de diámetro
16 metros de radio
80 metros de diámetro
Ejercicio 2: Hallar el volumen de una jardinera que tiene forma de cilindro con 2 metros de radio y 0.5 metros de altura. ¿Cuál sería su capacidad en litros?
Ejercicio 3: Hallar el volumen de una jardinera limitada por dos conos truncados de altura 0.6 metros. El cono truncado interior tiene un radio de base de 1.5 metros y el radio superior de 0.8 metros; entre tanto que el cono truncado exterior tiene un radio en la base de 3 metros y el radio superior de 1.2 metros. ¿Cuál sería su capacidad en litros?
Ejercicio 4: Dos circulos concéntricos tienen una diferencia de áreas de \(240\pi\) unidades cuadradas. Si las dimensiones de los radios son enteros positivos, determine las 6 soluciones posibles y haga sus dibujos a escala marcando el área de diferencia.
Ejercicio 5: Hallar el área de la figura, segmentando la figura en forma conveniente apoyándose en que cada cuadrícula representa un metro cuadrado. Tenga en cuenta que \(f=6 m\), \(g=4m\), \(h=3.61 m\) e \(i=8.06 m\). También, obtenga su perímetro.
TERCER PERIODO
GRADO SEPTIMO
Introducción a las Ecuaciones geométricas
Semana 1: Introducción a ecuaciones geométricas
Objetivo: Reconocer situaciones geométricas que se pueden expresar con ecuaciones simples.
Actividad: Presentación de figuras planas con información faltante. Identificar qué datos se podrían calcular con una ecuación.
Ejemplo 1: Hallar el perímetro y el área posibles de un rectángulo con dimensiones enteras, en metros; si su área es 60 metros cuadrados.
Solución
Primero, tenemos los lados: base x, altura y.
La condición es \(xy=60\) metros cuadrados, donde x e y son longitudes enteras, en metros.
Ahora, formamos el producto señalado con los factores posibles. P es la función del perímetro en metros y A es la constante del área en metros cuadrados.
x=c(1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)
y=c(60,30,20,15,12,10,6,5,4,3,2,1)
A=x*y
P=2*x+2*y
cbind(x,y,P,A)## x y P A
## [1,] 1 60 122 60
## [2,] 2 30 64 60
## [3,] 3 20 46 60
## [4,] 4 15 38 60
## [5,] 5 12 34 60
## [6,] 6 10 32 60
## [7,] 10 6 32 60
## [8,] 12 5 34 60
## [9,] 15 4 38 60
## [10,] 20 3 46 60
## [11,] 30 2 64 60
## [12,] 60 1 122 60Como se había indicado arriba, el área es constante pero el perímetro no lo es.
Ejemplo 2: Dados los lados de un rectángulo con un valor desconocido, formar y resolver ecuaciones. Hallar el perímetro y el área de un rectángulo con lados: base \(x\) y altura \(y\) con \(y=2x\). Exprese el perímetro y el área en función de x. Obtener sus valores si \(x=5\) metros.
Solución
El perímetro es la suma de sus lados. En este caso, tiene 2 lados \(x\) y dos lados \(y\). Su perímetro es \(P=2x+2y\). Pero, usando la condición \(y=2x\), se obtiene \(P=2x+2(2x)\), es decir, \(P=2x+4x\), esto es, \(P=6x\). El valor del perímetro es \(P=6(5m)\), esto es, 30 metros. El área es el producto de su base por la altura. En este caso, tiene base \(x\) y altura \(y\). Su área es \(A=xy\). Pero, usando la condición \(y=2x\), se obtiene \(A=x(2x)\), es decir, \(A=x.2x\), esto es, \(A=2x^2\). El valor del área es \(A=5m(10m)\), esto es, 50 metros cuadrados.
Ejercicio 1: Dados los lados de un rectángulo con un valor desconocido y entero, formar y resolver ecuaciones. Hallar el perímetro mínimo, si el área del rectángulo con lados: base \(x\) y altura \(y\) es 120 metros cuadrados. Exprese el perímetro y el área en función de x. Obtener el valor de x en metros.
Ejercicio 2: Dados los lados de un rectángulo con unos valores desconocidos y enteros, formar y resolver ecuaciones. Hallar el perímetro y el área de un rectángulo con lados: base \(x\) y altura \(y\) con \(y=5x\). Exprese el perímetro y el área en función de x. Obtener sus valores si \(x=3\) metros.
Semana 2: Relación entre medidas en figuras planas
Objetivo: Traducir relaciones geométricas (ángulos, lados) en expresiones algebraicas.
Ejemplo 1: Si un cuadrilatero tiene un perímetro de 40 metros y sus dimensiones son números enteros. Determine el área máxima posible.
Solución
Al colocar \(2x+2y=40\), se obtiene \(x+y=20\) con \(x=1, 2,..., 19\). x e y dimensiones en metros.
x=c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19)
y=20-x
A=x*y
cbind(x,y,A)## x y A
## [1,] 1 19 19
## [2,] 2 18 36
## [3,] 3 17 51
## [4,] 4 16 64
## [5,] 5 15 75
## [6,] 6 14 84
## [7,] 7 13 91
## [8,] 8 12 96
## [9,] 9 11 99
## [10,] 10 10 100
## [11,] 11 9 99
## [12,] 12 8 96
## [13,] 13 7 91
## [14,] 14 6 84
## [15,] 15 5 75
## [16,] 16 4 64
## [17,] 17 3 51
## [18,] 18 2 36
## [19,] 19 1 19El área máxima es 100 metros cuadrados, como se puede observar.
Actividad: Trabajar con triángulos y cuadriláteros donde los lados o ángulos se relacionan entre sí.
Ejemplo 2: Si en un triángulo un ángulo mide x, otro 2x, y el tercero 3x, hallar los valores.
Solución
Dado que la suma de angulos interiores de cualquier triángulo es 180 grados. Entonces, \(x+2x+3x=180\), esto es, \(6x=180°\). Luego \(x=\frac{180°}{6}\). Por lo tanto, \(x=30°\), \(2x=60°\) y \(3x=90°\). Los ángulos son 30, 60 y 90 grados.
Ejemplo 3: En un rectángulo se tiene que las dimensiones son enteras y su área es de 80 metros cuadrados. Determine las dimensiones y perímetros posibles de la figura.
Solución
En el caso, sea la base y la altura, ambas en metros. Con la condición planteada \(xy=80\), en metros cuadrados.
x=c(1,2,4,5,8,10,16,20,40,80)
y=80/x
P=2*x+2*y
cbind(x,y,P)## x y P
## [1,] 1 80 162
## [2,] 2 40 84
## [3,] 4 20 48
## [4,] 5 16 42
## [5,] 8 10 36
## [6,] 10 8 36
## [7,] 16 5 42
## [8,] 20 4 48
## [9,] 40 2 84
## [10,] 80 1 162Serían esas 10 soluciones. Las figuras rectangulares con dimensiones iguales son congruentes entre sí.
Ejemplo 4: Un piso de 200 metros cuadrados. tiene dimensiones enteras tales que su perímetro es 66 metros. Si se desea embaldosar con piedras cuadradas de 25 cms de lado. Cuántas baldosas debe comprar a esa medida?
Solución
Pongamos el método por tanteo, para resolver.
x=c(1:32)
y=33-x
A=x*y
cbind(x,y,A)## x y A
## [1,] 1 32 32
## [2,] 2 31 62
## [3,] 3 30 90
## [4,] 4 29 116
## [5,] 5 28 140
## [6,] 6 27 162
## [7,] 7 26 182
## [8,] 8 25 200
## [9,] 9 24 216
## [10,] 10 23 230
## [11,] 11 22 242
## [12,] 12 21 252
## [13,] 13 20 260
## [14,] 14 19 266
## [15,] 15 18 270
## [16,] 16 17 272
## [17,] 17 16 272
## [18,] 18 15 270
## [19,] 19 14 266
## [20,] 20 13 260
## [21,] 21 12 252
## [22,] 22 11 242
## [23,] 23 10 230
## [24,] 24 9 216
## [25,] 25 8 200
## [26,] 26 7 182
## [27,] 27 6 162
## [28,] 28 5 140
## [29,] 29 4 116
## [30,] 30 3 90
## [31,] 31 2 62
## [32,] 32 1 32La solución es 25 m x 8 m serían en el lado de 25 metros 100 baldosas y en el lado de 8 metros 32 baldosas, para un total de 3200 baldosas.
Ejercicio 3: Si un cuadrilatero tiene un perímetro de 32 metros y sus dimensiones son números enteros. Determine las áreas posibles.
Ejercicio 4: Si en un triángulo un ángulo mide x, otro 3x, y el tercero 5x, hallar los valores.
Ejercicio 5: En un rectángulo se tiene que las dimensiones son enteras y su área es de 120 metros cuadrados. Determine las dimensiones y perímetros posibles de la figura.
Ejercicio 4: Un piso de 280 metros cuadrados. tiene dimensiones enteras tales que su perímetro es 68 metros. Si se desea embaldosar con piedras cuadradas de 20 cms de lado. Cuántas baldosas debe comprar a esa medida?
Semana 3: Resolución de ecuaciones en figuras
Objetivo: Resolver ecuaciones asociadas a relaciones geométricas dadas.
Actividad: Ejercicios donde se proponen ecuaciones simples con una incógnita relacionada a lados o ángulos.
Ejemplo 1: Lado de un cuadrado más 5 es igual a 17. ¿Cuánto mide el lado?
Solución
El lado mide \(L=17-5\), esto es \(L=12\)
Ejemplo 2: El perímetro de un triangulo equilatero de lado x, es igual al perímetro de un rectangulo de base 10 y altura \(\frac{x}{2}\). Cuál sería el perímetro del triángulo?
Solución
Primero, se tiene que el perímetro del triangulo equilatero es \(P_1=3x\) y el perímetro del rectángulo es \(P_2=x+20\). Al igualar \(P_1\) y \(P_2\) resulta \(x=10\). Por tanto el perímetro del triángilo es \(P_1=30\).
Ejemplo 3: Los lados de un rectángulo están en proporción 4:5. Este rectángulo tiene igual perímetro que un triángulo de lados 6, 8 y 10. Determine los lados del rectángulo y su área.
P=6+8+10
x=P/18
a=4*x
b=5*x
c(a,b,a*b)## [1] 5.333333 6.666667 35.555556Ejercicio 6: Lado de un cuadrado menos 5 es igual a 25. ¿Cuánto mide el lado y el área?
Ejercicio 7: El perímetro de un triangulo equilatero de lado 8, es igual al perímetro de un rectangulo de base 10 y altura x. Cuáles serían el perímetro y el área del rectángulo?
Ejercicio 8: Los lados de un rectángulo están en proporción 2:7. Este rectángulo tiene igual perímetro que un triángulo de lados 18, 24 y 30. Determine los lados del rectángulo y su área.
Semana 4: Simetría, paralelismo y perpendicularidad
Objetivo: Establecer ecuaciones usando propiedades geométricas.
Actividad: Explorar figuras simétricas y propiedades de líneas paralelas y perpendiculares.
Ejercicio 9: Usar que los ángulos alternos internos son iguales para formar ecuaciones.
Si el ángulo FEG mide 68°, marque los ángulos de la figura y encuentre sus valores
Semana 5: Elementos visuales y planteos algebraicos
Objetivo: Aplicar el lenguaje algebraico en contextos visuales.
Actividad: Resolver problemas con apoyo de diagramas donde ciertas longitudes o ángulos deben calcularse.
Ejercicio 10: Dado un trapecio con lados variables, usar el dibujo para plantear una ecuación.
Si cada cuadrado de la cuadrícula mide de cada lado x metros. Encuentre los ángulos internos del trapecio, la longitud de los lados del trapecio, el perímetro y el área. Este es un terreno para sembrado que adquirió un campesino del pueblo con una base JK=560 metros.
Semana 6: Transformaciones geométricas
Objetivo: Interpretar cómo cambian relaciones métricas al transformar figuras.
Actividad: Analizar traslaciones, rotaciones y reflexiones y su impacto en lados y ángulos.
Ejercicio 11: Se refleja el triángulo \(\triangle LMN\) respecto al segmento horizontal \(\overline{OP}\), verificar que las medidas de los ángulos interiores del triángulo y lados se mantienen. Con ello, se puede afirmar que el triángulo \(\triangle SRQ\) reflejado es congruente con el original?
Semana 7: Figuras semejantes y proporcionalidad
Objetivo: Plantear ecuaciones que describan semejanza.
Actividad: Dada una figura, construir una semejante con una escala distinta, usando proporciones.
Ejercicio 12: Si dos triángulos son semejantes a un triángulo rectángulo de dimensiones 3 metros, 4 metros y 5 metros; y el lado menor del primero mide 6 metros y el lado homólogo del segundo 9 metros, hallar los demás lados y sus ángulos.
Semana 8: Diseños con medidas desconocidas
Objetivo: Determinar valores faltantes en un diseño gráfico mediante ecuaciones.
Actividad: Dar un patrón geométrico incompleto con condiciones, y que los estudiantes calculen los valores que faltan.
Ejercicio 13: Un mosaico con lados desconocidos en función de x, hallar el valor que permite cerrar el patrón.
Halle en el polígono los lados y cierre la figura para formar un cuadrilátero. Tenga presente que la cuadricula está formada por cuadrados de 2 kms de lado.
GRADO OCTAVO
Semana 1: Concepto de congruencia y semejanza
Contenido: Definiciones y propiedades básicas.
La congruencia expresa la relación de equivalencia entre elementos geométricos como segmentos, ángulos, triángulos u otras figuras poligonales. Esto traduce que los elementos presentan medidas iguales.
La semejanza expresa la relación de equivalencia en la forma entre grupos de elementos geométricos como segmentos, triángulos u otras figuras poligonales. Esto traduce que los elementos presentan medidas proporcionales, teniendo ángulos respectivos iguales. Esto quiere decir que la figura es la misma en la forma, pero con diferente tamaño, en general.
Actividad sugerida:
Presentación con figuras planas (pares de triángulos, cuadrados, etc.).
Clasificación de figuras como congruentes, semejantes o distintas.
Las figuras no son congruentes porque tienen diferente tamaño. Aunque la posición relativa de las figuras sea diferente, sus ángulos son congruentes, es decir, tienen medidas iguales; y sus lados expresan la proporción 2:1, que quiere decir que los lados de la figura de mayor tamaño miden el doble de la figura pequeña.
Esta relación de semejanza se debe escribir en orden, así
\(\square GFIH \tilde{} \square BDEC\).
Indica que en los vértices respectivos, los ángulos son congruentes, es decir, tienen la misma medida; y los segmentos formados entre vértices respectivos son proporcionales entre ellos (como se había indicado esto expresa igualdad entre las medidas de los lados GF=2BD, FI=2DE, IH=2EC y GH=2BC). \[\frac{GF}{BD}=\frac{FI}{DE}=\frac{IH}{EC}=\frac{GH}{BC}=2\] Se puede complementar lo anterior escribiendo la congruencia entre ángulos y las semejanzas entre segmentos.
\(<G\tilde{=}<B\), \(<F\tilde{=}<D\), \(<I\tilde{=}<E\), \(<H\tilde{=}<C\).
o equivalentemente, igualdad entre sus medidas
\(m<G{=}m<B\), \(m<F{=}m<D\), \(m<I{=}m<E\), \(m<H{=}m<C\).
La semejanza entre segmentos así:
\[\overline{GF}\tilde{}\overline{BD}\] \[\overline{FI}\tilde{}\overline{DE}\]
\[\overline{IH}\tilde{}\overline{EC}\]
\[\overline{GH}\tilde{}\overline{BC}\] Trabajo con recortes o figuras móviles.
Indicador de evaluación: Identifica y clasifica figuras congruentes y semejantes correctamente.
Ejercicio 1: Expresa las relaciones vistas en el ejemplo, para el siguiente par de trapecios congruentes.
Semana 2: Criterios de congruencia en triángulos (LAL, LLL, ALA)
Contenido: Relación de congruencia en triángulos.
Actividad sugerida:
Uso de regla y transportador para construir triángulos según los criterios.
Comparación de figuras creadas por distintos estudiantes.
Actividad: ¿Todos los triángulos con LLL son iguales?
Indicador de evaluación: Aplica criterios de congruencia para verificar igualdad entre figuras.
Ejemplo 1: En la figura se muestran dos triángulos y se especifica los lados congruentes r3 con q3 y s3 con n3. Defina el criterio de congruencia y diga las dimensiones de cada triángulo.
Solución
Sabiendo que el ángulo OLP es congruente con el ángulo NLM. Entonces, se forma el criterio LAL, por el cual los triángulos son congruentes.
Tenemos \(t3=p3\) iguales a 100 unidades. Por el teorema de pitágoras r3, s3, n3 y q3 tienen un valor de \(50\sqrt{5}\) unidades. Son ambos triángulos isósceles.
Ejemplo #2 En la siguiente figura, se forman 4 triángulos congruentes a un triángulo semejante con área igual a la cuarta parte del triángulo homólogo.
El triángulo ABC es semejante al triángulo EDC.
Ejercicio 2: En la figura se muestran dos triángulos y se especifica los lados congruentes a3 con f4, y la medida de sus ángulos. Defina el criterio de congruencia y diga las dimensiones de cada triángulo.
Semana 3: Criterios de semejanza en triángulos (AA, LAL, LLL)
Contenido: Relación de semejanza en triángulos.
Actividad sugerida:
Resolver ejercicios con medidas proporcionales.
Relación entre lados y ángulos en triángulos semejantes.
Uso de regla y escala.
Indicador de evaluación: Aplica criterios de semejanza para identificar figuras semejantes.
Ejercicio 3: En la sigiente figura los triángulos grande y pequeño son semejantes.
Usando el hecho de que la cuadrícula es métrica, determine las dimensiones de \(\overline{B_1E_1}\) y \(\overline{C_1F_1}\). Determine las proporciones entre lados homólogos y encuentre todas sus longitudes.
Semana 4: Congruencia y semejanza en el entorno
Contenido: Reconocimiento de figuras congruentes y semejantes en el mundo real.
Actividad sugerida:
Observación de objetos: señales de tránsito, logos, arquitectura.
Ejercicio 4: crear una “galería geométrica” con ejemplos de la vida cotidiana.
Indicador de evaluación: Relaciona ejemplos reales con los conceptos de congruencia y semejanza.
Semana 5: Patrones y simetría
Contenido: Análisis de patrones y simetría en objetos geométricos.
Ejercicio 5: Resuelva la siguiente Actividad sugerida.
Identificación de simetrías (reflexiva, rotacional).
Creación de mandalas o patrones geométricos con simetrías.
Uso de papel cuadriculado o herramientas digitales como GeoGebra.
Indicador de evaluación: Reconoce patrones de congruencia y semejanza en figuras.
Semana 6: Diseño con figuras planas (mosaicos y patrones)
Contenido: Aplicación de congruencia y semejanza en diseños.
Actividad sugerida:
Diseñar un mosaico usando solo figuras congruentes y/o semejantes.
Explicar la elección de figuras y sus relaciones.
Indicador de evaluación: Aplica congruencia y semejanza en el diseño de figuras planas.
Semana 7: Aplicación en cuerpos tridimensionales
Contenido: Relación de congruencia y semejanza en 3D (cubos, conos, cilindros).
Actividad sugerida:
Comparar cuerpos 3D del aula o materiales manipulativos.
Analizar desarrollos planos (plantillas) y determinar congruencia entre caras.
Indicador de evaluación: Identifica relaciones de congruencia y semejanza en cuerpos tridimensionales.
Semana 8: Problemas prácticos con congruencia y semejanza
Contenido: Resolución de problemas reales.
Actividad sugerida:
Escenarios: construcción de maquetas, cálculo de alturas con sombra, mapas a escala.
Uso de semejanza para estimar distancias o proporciones.
Indicador de evaluación: Resuelve problemas aplicando propiedades de congruencia y semejanza.
GRADO NOVENO
Unidad: Figuras geométricas, semejanza, congruencia y teoremas fundamentales
Semana 1: Introducción a las figuras geométricas bidimensionales y tridimensionales
Teoría y conceptos:
Figuras bidimensionales (2D): polígonos (triángulo, cuadrado, rectángulo, pentágono, etc.).
Las figuras bidimensionales son objetos geométricos que ocupan una porción del plano, a la que llamamos superficie. Esto es, tienen dos dimensiones.
Figuras tridimensionales (3D): cubo, prisma, cilindro, pirámide, cono, esfera.
Las figuras tridimensionales son objetos geométricos que ocupan una porción del espacio, a la que llamamos sólido. Esto es, tienen tres dimensiones.
Propiedades:
2D: lados, vértices, ángulos, perímetro, área.
3D: caras, aristas, vértices, volumen, área superficial.
Aplicaciones:
Clasificar figuras según sus propiedades.
Medir y comparar figuras del entorno real.
Ejemplo 1: Para un poligono regular de 7 lados, al que llamamos heptagono regular. Determine la cantidad de vértices y diagonales totales dada por \(d_n=\frac{n(n-3)}{2}\). Determine la suma de sus ángulos internos dado por la fórmula de polígono convexo de n lados \(S_n=(n-2)*180°\). ¿Cuál sería la medida del ángulo interior, teniendo en cuenta que sus ángulos internos tienen igual medida? Repita el proceso con el octágono regular.
El heptágono tiene 7 vértices y su total de diagonales 14, \(d=\frac{7(7-3)}{2}\).
La suma de los ángulos internos es \(S=(7-2)*180°\), es decir, \(S=900°\). Su ángulo interior mide \(A=\frac{900°}{7}\), es decir, 128.57°.
El octágono tiene 8 vértices y su total de diagonales 20, \(d=\frac{8(8-3)}{2}\).
La suma de los ángulos internos es \(S=(8-2)*180°\), es decir, \(S=1080°\). Su ángulo interior mide \(A=\frac{1080°}{8}\), es decir, 135°.
Ejemplo 2: Verifique la fórmula de Euler en los siguientes poliedros convexos: pirámide truncada de base pentagonal.
Solución
Relación entre caras (C), aristas (A) y vértices (V): (fórmula de Euler para poliedros convexos:
V + C - A = 2).
En este sólido, encontramos 10 vértices \(V=10\), 15 aristas \(A=15\) y 7 caras \(C=7\).
Se cumple que \(V+C-A=10+7-15\), esto es, \(V+C-A=2\).
Ejercicio 1: Para un poligono regular de 5 lados, al que llamamos pentagono regular. Determine la cantidad de vértices y diagonales totales dada por \(d_n=\frac{n(n-3)}{2}\). Determine la suma de sus ángulos internos dado por la fórmula de polígono convexo de n lados \(S_n=(n-2)*180°\). ¿Cuál sería la medida del ángulo interior, teniendo en cuenta que sus ángulos internos tienen igual medida? Repita el proceso con el hexágono regular.
Propiedades:
Número de lados, vértices y ángulos para polígonos.
Relación entre caras (C), aristas (A) y vértices (V): (fórmula de Euler para poliedros convexos:
V + C - A = 2).
Ejercicio 2: Verifique la fórmula de Euler en los siguientes poliedros convexos: cubo, pirámide triangular, prisma de base pentagonal, pirámide truncada de base hexagonal.
Semana 2: Concepto de semejanza y congruencia en figuras geométricas
Teoría y conceptos:
Semejanza: misma forma, diferente tamaño → lados proporcionales y ángulos iguales.
Congruencia: misma forma y tamaño → todos los lados y ángulos iguales.
Propiedades:
Razón de semejanza:
Relación entre áreas y volúmenes en figuras semejantes:
Áreas: razón al cuadrado.
Volúmenes: razón al cubo.
Aplicaciones:
Distinguir entre figuras semejantes y congruentes.
Uso de escalas, ampliaciones y reducciones en planos o mapas.
Ejemplo 1: Medir el criterio de semejanza de dos triángulos rectángulos con un par de ángulos opuestos por el vértice y hallar sus proporciones y sus áreas.
Solución
Dado que un par de ángulos homólogos son congruentes, esto es, los ángulos rectos W2 y B3, y los angulos BZM y WZV omitiendo subíndices; entonces por el criterio AA se puede afirmar que el triángulo BZA y el triángulo WZM son semejantes.
Se puede escribir \[\frac{WZ}{BZ}=\frac{ZM}{ZA}=\frac{WM}{BA}=2\]
El área del triángulo BZA es base x altura sobre 2 \(A_1=\frac{50*40}{2}\), unidades cuadradas, esto es \(A_1= 1000\) unidades cuadradas.
El área del triángulo WZM es base x altura sobre 2 \(A_2=\frac{100*80}{2}\), unidades cuadradas, esto es \(A_2= 4000\) unidades cuadradas.
Esto indica la razón al cuadrado, \(A_2=2^2*A_1\).
Ejercicio 3: Medir el criterio de semejanza de dos triángulos rectángulos y hallar sus proporciones y sus áreas.
Semana 3: Criterios de semejanza en triángulos: análisis y aplicación
Teoremas y conceptos:
Criterios de semejanza:
AA (Ángulo–Ángulo): si dos ángulos de un triángulo son congruentes con los de otro.
LAL (Lado–Ángulo–Lado): dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual.
LLL (Lado–Lado–Lado): los tres lados proporcionales.
Propiedades:
Correspondencia de lados y ángulos en triángulos semejantes.
Relación entre las razones de semejanza.
Aplicaciones:
Resolver problemas usando proporciones.
Ejemplo #1 Dados dos triángulos semejantes \(\triangle ABC \tilde{} \triangle EDC\)
Si \(j=2.2\), \(g=7\) y \(h=3\). Determine f, i, k.
Solución
De acuerdo con la hipótesis de semejanza, se tiene
\[\frac{AB}{ED}=\frac{AC}{EC}=\frac{BC}{DC}=2\] \[\frac{f}{j}=\frac{g}{k}=\frac{h}{i}=2\]
Por lo tanto, \(f=2j\), esto es \(f=4.4\). \(i=\frac{h}{2}\), esto es \(i=1.5\). \(k=\frac{g}{2}\), esto es \(k=3.5\).
Usar semejanza para hallar alturas, distancias o construir maquetas a escala.
Ejercicio 4: Dados dos triángulos semejantes \(\triangle ABC \tilde{} \triangle EDC\)
Si \(j=11\), \(g=35\) y \(h=15\). Determine f, i, k.
Semana 4: Criterios de congruencia en triángulos: análisis y aplicación
Teoremas y conceptos:
Criterios de congruencia:
LLL (Lado–Lado–Lado): tres lados iguales.
LAL (Lado–Ángulo–Lado): dos lados y el ángulo entre ellos son iguales.
ALA (Ángulo–Lado–Ángulo): un lado y los ángulos adyacentes son iguales.
Propiedades:
Congruencia garantiza que dos triángulos son completamente iguales en forma y tamaño.
Aplicaciones:
Demostraciones geométricas simples.
Resolución de triángulos en problemas geométricos y construcción de figuras.
Ejercicio 5: Se refleja el triángulo \(\triangle LMN\) respecto al segmento horizontal \(\overline{OP}\), verificar que las medidas de los ángulos interiores del triángulo y lados se mantienen. Con ello, se puede afirmar que el triángulo \(\triangle SRQ\) reflejado es congruente con el original?
En caso de existir la congruencia establezca las longitudes de los lados usando las unidades de la cuadrícula.
Semana 5: Teorema de Pitágoras y su aplicación en figuras geométricas
Teorema de Pitágoras:
En un triángulo rectángulo con catetos a y b, e hipotenusa c: \(a^2+b^2=c^2\).
Propiedades:
Solo aplicable en triángulos rectángulos.
Usado para hallar distancias, verificar si un triángulo es rectángulo.
Aplicaciones:
Cálculo de distancias en planos cartesianos.
Medición indirecta de alturas y diagonales.
Problemas de navegación o trayectorias.
Ejercicio 6: Utilice el teorema de pitágoras para señalar, si el siguiente triángulo es rectángulo
Tenga en cuenta que \(j_1=10\), \(k_1=11.31\) y \(l1=14\).
Tenga en cuenta los ángulos.
Semana 6: Inferencias a partir de los teoremas básicos: Pitágoras, semejanza y congruencia
Teoría:
Integración de Pitágoras + semejanza + congruencia para deducir propiedades.
Uso del razonamiento lógico y deductivo para resolver problemas.
Propiedades:
Triángulos rectángulos semejantes al dividirlos por una altura.
Relación entre áreas y lados en figuras semejantes.
Aplicaciones:
Resolver situaciones geométricas complejas que combinan múltiples teoremas.
Razonamiento sobre triángulos en contextos reales (puentes, rampas, etc.).
Ejercicio 7: En una competencia de motocross, los organizadores construyen dos rampas para saltos. La Rampa A es más pequeña y se usa para practicar, mientras que la Rampa B es una versión ampliada para la competencia oficial. Ambas rampas tienen la misma inclinación (es decir, forman triángulos semejantes).
Datos de la Rampa A:
Altura: 2 metros
Base horizontal: 4 metros
Datos de la Rampa B:
Base horizontal: 10 metros
¿Cuál es la altura de la Rampa B, sabiendo que tiene la misma inclinación que la Rampa A? (Usa semejanza de triángulos)
¿Cuánto mide la superficie inclinada (la rampa real que recorre la moto) en la Rampa B?
Semana 7: Regularidades en figuras tridimensionales (cubo, prisma, pirámide)
Teoría y conceptos:
Regularidades: patrones que se repiten (caras congruentes, ángulos iguales).
Poliedros regulares (cubo, tetraedro regular).
Propiedades:
Todas las caras del cubo son cuadrados congruentes.
Prismas tienen bases congruentes y caras laterales paralelas.
Fórmula de volumen:
Prisma:
\(𝑉=A.h\)
Pirámide:
\(𝑉=\frac{1}{3}A.h\)
Aplicaciones:
Dibujo de desarrollos planos de cuerpos.
Identificación de figuras en objetos del entorno.
Ejercicio 8: Realizar los desarrollos planos posibles de un cubo, utilizando hoja de papel para los moldes.
Semana 8: Aplicación de la semejanza y congruencia en figuras tridimensionales
Teoría:
Figuras 3D semejantes: mismo tipo, proporciones iguales.
Figuras 3D congruentes: mismas dimensiones exactas.
Propiedades:
Relación entre volúmenes de figuras semejantes:
Aplicaciones:
Comparación de envases (botellas, cajas).
Diseño de prototipos, maquetas o impresión 3D.
Ejercicio 9: Forme dos paralelepipedos rectangulares o cuboides que sean semejantes establezca las proporciones entre sus aristas largo, ancho y alto; y luego defina la razón o cociente de sus volúmenes.
Semana 9: Conjeturas sobre regularidades en figuras geométricas
Teoría:
Conjetura: afirmación no demostrada basada en observación de patrones.
Validación con ejemplos, contraejemplos o demostración.
Propiedades:
Revisión de patrones en polígonos y poliedros.
Uso de simetrías y relaciones métricas.
Ejercicio 10: Formular y verificar las siguientes conjeturas:
“Los ángulos internos de un triángulo siempre suman 180°”.
“Las diagonales de un cuadrado se cortan en ángulos rectos”.
“Desde un vértice de cualquier poligono convexo de n lados se pueden trazar \(n-3\) diagonales”.
“Los ángulos agudos de un tríangulo obtusángulo pueden sumar un ángulo recto ó más”.