Avaliação 1 de Matemática Computacional

Desafio 1: Análise de Dados de Vendas

A empresa “TechStore” precisa analisar o desempenho de vendas de três filiais (A, B, C) durante um trimestre. Os dados de vendas de dois produtos (Smartphones e Laptops) foram registrados em matrizes mensais.

vendas

Tarefas:

• Crie as matrizes de vendas mensais (J, F e M) dos produtos da empresa TechStore:

# Criar a matriz de Janeiro
J <- matrix(
  c(50, 30,   # Filial A
    45, 35,   # Filial B
    60, 40),  # Filial C
  nrow = 3, byrow = TRUE,
  dimnames = list(
    c("A", "B", "C"),             # nomes das linhas (filiais)
    c("Smartphones", "Laptops")   # nomes das colunas (produtos)
  )
)

# Mostrar a matriz
J

  Smartphones Laptops
A          50      30
B          45      35
C          60      40

F <- matrix(
  c(55, 32,   # Filial A
    48, 38,   # Filial B
    62, 41),  # Filial C
  nrow = 3, byrow = TRUE,
  dimnames = list(
    c("A", "B", "C"),             # nomes das linhas (filiais)
    c("Smartphones", "Laptops")   # nomes das colunas (produtos)
  )
)

# Mostrar a matriz
F

  Smartphones Laptops
A          55      32
B          48      38
C          62      41

M <- matrix(
  c(60, 35,   # Filial A
    50, 40,   # Filial B
    65, 45),  # Filial C
  nrow = 3, byrow = TRUE,
  dimnames = list(
    c("A", "B", "C"),             # nomes das linhas (filiais)
    c("Smartphones", "Laptops")   # nomes das colunas (produtos)
  )
)

# Mostrar a matriz
M

  Smartphones Laptops
A          60      35
B          50      40
C          65      45

• Calcule a matriz total de vendas do trimestre (T = J + F + M).

T <- J + F + M
T

  Smartphones Laptops
A         165      97
B         143     113
C         187     126

Pergunta de análise: qual filial teve o melhor desempenho geral em vendas de Smartphones no trimestre?

• Calcule a diferença de vendas entre os meses de março e janeiro (D = M − J).

D <- M - J
D

  Smartphones Laptops
A          10       5
B           5       5
C           5       5

Pergunta de análise: qual filial teve o maior crescimento absoluto de vendas de Laptops de janeiro a março?

• A gerência estima que, no próximo trimestre, as vendas de cada filial terão um aumento de 10% em relação às vendas totais do trimestre anterior.

Calcule a matriz de projeção de vendas (P) para o próximo trimestre:

P <- T * 1.1
P 

  Smartphones Laptops
A       181.5   106.7
B       157.3   124.3
C       205.7   138.6

Desafio 2: Logística e Custos de Produção

Uma fábrica produz três tipos de peças (P1, P2, P3). O custo de material e mão de obra para cada peça é dado pela matriz C. A quantidade de peças produzidas em dois turnos (matutino e noturno) é dada pela matriz Q:

producao

Tarefas:

• Crie as matrizes de custos (C) e quantidades (Q):

C <- matrix(
  c(10, 20, 15, 25, 12, 18),  
  nrow = 3, byrow = TRUE,
  dimnames = list(
    c("P1", "P2","P3" ),             
    c("Custo de Materia", "Custo de Mão de Obra")   
  )
)
C

   Custo de Materia Custo de Mão de Obra
P1               10                   20
P2               15                   25
P3               12                   18

Q <- matrix(c(50,60,40,45,50,55),
      nrow = 2, byrow = TRUE,
      dimnames = list(
        c("Matutino", "Noturno"),
        c("P1", "P2", "P3")
      )
)

Q

         P1 P2 P3
Matutino 50 60 40
Noturno  45 50 55

• A gerência precisa saber o custo total de material e mão de obra (CT) para cada turno. Calcule o produto da matriz de quantidade pela matriz de custos (CT = Q × C):

CT <- Q %*% C
CT

         Custo de Materia Custo de Mão de Obra
Matutino             1880                 3220
Noturno              1860                 3140

Pergunta de análise: qual turno teve o maior custo total com mão de obra?

Matutino

Desafio 3: Otimização de Cronograma de Produção

Uma empresa de manufatura, a “Alpha Indústrias”, produz dois tipos de componentes eletrônicos, o Componente A e o Componente B, em duas de suas linhas de produção, a Linha 1 e a Linha 2. A matriz de tempo (T) a seguir detalha o tempo, em horas, que cada linha de produção leva para fabricar uma unidade de cada componente:

tempos

A gerência da Alpha Indústrias precisa de uma ferramenta para determinar rapidamente quantos componentes de cada tipo podem ser produzidos se cada linha de produção operar por um número específico de horas. Para isso, eles precisam encontrar a matriz inversa de tempo (\(T^{-1}\))

Tarefas:

• Crie a matriz de tempo de produção (T):

T <- matrix(
  c(5, 2,   # Linha 1: A=5h, B=2h
    3, 1),  # Linha 2: A=3h, B=1h
  nrow = 2,
  byrow = TRUE,
  dimnames = list(
    c("Linha 1", "Linha 2"),
    c("Componente A (h)", "Componente B (h)")
  )
)

T

        Componente A (h) Componente B (h)
Linha 1                5                2
Linha 2                3                1

• Calcule a matriz inversa da matriz de tempo (T) de forma que T × \(T^{-1}\) resulte na matriz identidade (I) de ordem 2:

T_inv <- solve(T)
T_inv

                 Linha 1 Linha 2
Componente A (h)      -1       2
Componente B (h)       3      -5

T %*% T_inv

             Linha 1 Linha 2
Linha 1 1.000000e+00       0
Linha 2 4.440892e-16       1

• Multiplique a matriz original T pela matriz inversa que você encontrou para verificar se o resultado é a matriz identidade (I):

I <- T %*% T_inv
I

             Linha 1 Linha 2
Linha 1 1.000000e+00       0
Linha 2 4.440892e-16       1

• Se a Linha 1 operar por 20 horas e a Linha 2 operar por 11 horas, use a matriz inversa (\(T^{-1}\)) para determinar quantos Componentes A e B podem ser produzidos:

H <- c(20, 11)
Q <- T_inv %*% H
Q

                 [,1]
Componente A (h)    2
Componente B (h)    5

Desafio 4: Investigação de multicolinearidade

Você faz parte de uma equipe de cientistas de dados encarregada de construir um modelo de regressão para prever o preço de imóveis com base em diversas variáveis, como área, número de quartos e número de banheiros. Antes de treinar o modelo, é necessário verificar a existência de multicolinearidade entre as variáveis preditoras, pois isso pode causar instabilidade na estimativa dos coeficientes e comprometer a qualidade das previsões. Para isso, você utilizará o cálculo do determinante da matriz de correlação das variáveis explicativas para verificar se há dependência linear entre elas.

imoveis

Tarefas:

Construir a matriz de correlação das variáveis preditoras (Área, Nº Quartos, Nº Banheiros):

Calcular o determinante dessa matriz de correlação:

Interpretar o resultado:

• Se det(R) for próximo de zero, há multicolinearidade;

• Se det(R) for significativamente diferente de zero, não há colinearidade grave