1. Distribución Binomial

1.1 Información

Parámetros: \(n\) (ensayos), \(p\) (probabilidad de éxito por ensayo).
¿Qué modela (\(X\))? Número de éxitos en \(n\) ensayos de Bernoulli independientes.
Función de probabilidad \(f(k)\): \[\mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k},\quad k=0,1,\dots,n.\]
Función de distribución acumulada \(F(k)\): \[\mathbb{P}(X\le k)=\sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^{i}(1-p)^{n-i}. \quad \text{En R: }\texttt{pbinom(k, n, p)}\]
Esperanza: \(\,\mathbb{E}[X]=np\).
Varianza: \(\,\operatorname{Var}(X)=np(1-p)\).

## P(X=3)= 0.117

## P(X<=3)= 0.172

## E(X)= 5  | Var(X)= 2.5

Parámetros: \(N\) (población), \(M\) (éxitos en la población), \(n\) (tamaño de muestra).
¿Qué modela (\(X\))? Éxitos al extraer sin reemplazo \(n\) elementos de una población finita.
Función de probabilidad \(f(k)\): \[\mathbb{P}(X=k)=\dfrac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{\,n-k\,}}{\binom{N}{n}},\quad k=\max\{0,\,n-(N-M)\},\dots,\min\{n,M\}.\]
Función de distribución acumulada \(F(k)\): \[\mathbb{P}(X\le k)=\sum_{i=0}^{k}\dfrac{\binom{M}{i}\binom{N-M}{\,n-i\,}}{\binom{N}{n}}.\] En R: dhyper, phyper.
Esperanza: \(\,\mathbb{E}[X]=n\,\dfrac{M}{N}\).
Varianza: \(\,\operatorname{Var}(X)=n\,\dfrac{M}{N}\,\dfrac{N-M}{N}\,\dfrac{N-n}{N-1}\).

## P(X=2)= 0.251

## P(X<=2)= 0.926

## E(X)= 1.154  | Var(X)= 0.818

Parámetros: \(p\) (probabilidad de éxito por ensayo).
¿Qué modela (\(X\))? Número de ensayos necesarios para el primer éxito (soporte \(k=1,2,\dots\)).
Función de probabilidad \(f(k)\): \[\mathbb{P}(X=k)=(1-p)^{k-1}p,\quad k=1,2,\dots\]
Función de distribución acumulada \(F(k)\): \[\mathbb{P}(X\le k)=1-(1-p)^k.\] En R recuerda que dgeom(x,p) usa fallos antes del primer éxito: \(x=k-1\).
Esperanza: \(\,\mathbb{E}[X]=\dfrac{1}{p}\).
Varianza: \(\,\operatorname{Var}(X)=\dfrac{1-p}{p^{2}}\).

## P(X=4)= 0.096

## P(X<=4)= 0.518

## E(X)= 6  | Var(X)= 30

Parámetros: \(r\) (éxitos deseados), \(p\) (probabilidad de éxito por ensayo).
¿Qué modela (\(X\))? Número de ensayos necesarios para lograr el \(r\)-ésimo éxito (soporte \(k=r,r+1,\dots\)).
Función de probabilidad \(f(k)\): \[\mathbb{P}(X=k)=\binom{k-1}{r-1}(1-p)^{k-r}p^{r},\quad k=r,r+1,\dots\]
Función de distribución \(F(k)\): no hay forma cerrada simple: \[\mathbb{P}(X\le k)=\sum_{i=r}^{k} \binom{i-1}{r-1}(1-p)^{i-r}p^{r}. \] En R: dnbinom(k-r, size=r, prob=p) (fallos antes del \(r\)-ésimo éxito).
Esperanza: \(\,\mathbb{E}[X]=\dfrac{r}{p}\).
Varianza: \(\,\operatorname{Var}(X)=\dfrac{r(1-p)}{p^{2}}\).

## P(X=8)= 0.039

## P(X<=8)= 0.135

## E(X)= 18  | Var(X)= 90

Parámetro: \(\lambda>0\) (tasa media de eventos por intervalo).
¿Qué modela (\(X\))? Número de eventos en un intervalo fijo de tiempo/espacio, con tasa constante e independencia.
Función de probabilidad \(f(k)\): \[\mathbb{P}(X=k)=\dfrac{e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!},\quad k=0,1,2,\dots\]
Función de distribución \(F(k)\): \[\mathbb{P}(X\le k)=e^{-\lambda}\sum_{i=0}^{k}\dfrac{\lambda^{i}}{i!}. \quad \text{En R: }\texttt{ppois(k, lambda)}\]
Esperanza: \(\,\mathbb{E}[X]=\lambda\).
Varianza: \(\,\operatorname{Var}(X)=\lambda\).

## P(X=3)= 0.14

## P(X<=3)= 0.265

## E(X)= 5  | Var(X)= 5

Parámetros: soporte \(\{a,a+1,\dots,b\}\) con \(a\le b\) y \(n=b-a+1\).
¿Qué modela (\(X\))? Resultado equiprobable en un conjunto finito de enteros consecutivos.
Función de probabilidad \(f(k)\): \[\mathbb{P}(X=k)=\frac{1}{n},\quad k=a,\dots,b.\]
Función de distribución \(F(k)\) (pieza a pieza): \[F(k)=\mathbb{P}(X\le k)=\begin{cases} 0, & k<a,\\ \dfrac{\lfloor k\rfloor - a + 1}{n}, & a\le k\le b,\\ 1, & k>b. \end{cases}\]
Esperanza: \(\,\mathbb{E}[X]=\dfrac{a+b}{2}\).
Varianza: \(\,\operatorname{Var}(X)=\dfrac{(n^{2}-1)}{12}\) con \(n=b-a+1\).

## P(X=7)= 0.1

## P(X<=7)= 0.7

## E(X)= 5.5  | Var(X)= 8.25