INTRODUCCIÓN

En esta parte del curso se desarrollarán los capítulos 2,3,4, 5 y 6 del libro de Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias de Walpole.

Definición 1: Espacio muestral

El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. El espacio muestra, se simboliza con la letra \(\small S\).

Ejemplo 1

Se lanza una moneda al aire, entonces: \[ \small S = \{cara, sello\} \] Ejemplo 2

Se lanza una moneda al aire dos veces, entonces, \[ \small S = \{cc, cs,sc,ss\} \]

library(DiagrammeR)

# Diagrama en formato DOT
grViz("
digraph arbol_moneda {
  node [shape=circle, style=filled, color=pink]

  Inicio -> Cara1 [label='Cara']
  Inicio -> Sello1 [label='Sello']

  Cara1 -> Cara2 [label='Cara']
  Cara1 -> Sello2 [label='Sello']

  Sello1 -> Cara3 [label='Cara']
  Sello1 -> Sello3 [label='Sello']

  Inicio [label='Inicio']
  Cara1 [label='Cara']
  Sello1 [label='Sello']
  Cara2 [label='Cara']
  Sello2 [label='Sello']
  Cara3 [label='Cara']
  Sello3 [label='Sello']
}
")

Nota Cuando el número de elementos de \(\small S\) es grande, lo mejor calcular el número de sus elementos.

Ejemplo 3

Cuántos elementos tiene el espacio muestral del experimento de conocer todas las respuestas posibles de un cuestionario de 5 preguntas de opción múltiple con cuatro posibilidades?

Solución

\(\small n(S)= 4^5\)

Definición 2: Evento

Un evento es cualquier subconjunto de un espacio muestral. Los eventos se simbolizan con letras mayúsculas del alfabeto occidental.

Ejemplo 1

Sea \(\small S=\{1,2,3,4,5,6\}\) que representa el espacio muestral del lanzamiento de un dado legal.

Se definen los siguientes eventos:

\(\small A=\{1,2,4,5\}\), \(\small B=\{1,3,4,6\}\), \(\small C=\{1,2,5,6\}\), \(\small S\), \(\small \phi\)

Definición 3: Operaciones entre conjuntos

  1. La unión de dos eventos A y B, que se denota con el símbolo A ∪ B, es el evento que contiene todos los elementos que pertenecen a A o a B, o a ambos. \(A\cup B = \{x: x\in A \vee x\in B\}\)
knitr::include_graphics("UNIÓN.png")

  1. La intersección de dos eventos A y B, que se denota con el símbolo A ∩ B, es el evento que contiene todos los elementos que pertenecen a A y B al mismo tiempo. \(A \cap B = \{x : x \in A \wedge x \in B\}\)
knitr::include_graphics("INTERSECCION.png")

  1. El complemento de un evento A, que se denota con el símbolo \(\small A^c\), es el evento que contiene todos los elementos que no pertenecen a A, es decir, los que pertenecen al universo pero no a A. \(A^c = \{x : x \notin A\}\)
knitr::include_graphics("COMPLEMENTO.png")

Ejemplo 2

Si S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y A = {0, 2, 4, 6, 8}, B = {1, 3, 5, 7, 9}, C = {2, 3, 4, 5} y D = {1, 6, 7}, liste los elementos de los conjuntos que corresponden a los siguientes eventos: a) A ∪ C; b) A ∩ B; c) C’; d) (C’ ∩ D) ∪ B; e) (S ∩ C)’ ; f) A ∩ C ∩ D’

Solucion:

S <- 0:9 
A <- c(0, 2, 4, 6, 8)
B <- c(1, 3, 5, 7, 9)
C <- c(2, 3, 4, 5)
D <- c(1, 6, 7)
a <- union(A,C);a
## [1] 0 2 4 6 8 3 5
d <- union(intersect(setdiff(S,C),D),B);d
## [1] 1 6 7 3 5 9
Definición 4: Tecnicas de conteo

Sirven para determinar el numero de puntos muestrales en un evento o en el espacio. Veremos 3 metodos de conteo: a. Regla del producto. b. La permutacion. c. La combinatoria

Si una operación se puede llevar a cabo en \(\small n_1\) formas, y si para cada una de éstas se puede realizar una segunda operación en \(\small n_2\) formas, entonces las dos operaciones se pueden ejecutar juntas de \(\small n_1 * \small n_2\) formas.

Ejemplo 1 Un urbanista de una nueva subdivisión ofrece a los posibles compradores de una casa elegir entre Tudor, rústica, colonial y tradicional el estilo de la fachada, y entre una planta, dos pisos y desniveles el plano de construcción. ¿En cuántas formas diferentes puede un comprador ordenar una de estas casas?

library(DiagrammeR)

grViz("
digraph arbol {
  
  # Dirección del árbol
  graph [rankdir = TB]
  
  # Estilo de los nodos
  node [shape = ellipse, style=filled, fontname = Helvetica]
  
  # Nodo raíz
  raiz [label = 'Fachadas', fillcolor = pink]
  
  # Fachadas
  Tudor [label = 'Tudor', fillcolor = pink]
  Rustica [label = 'Rústica', fillcolor = pink]
  Colonial [label = 'Colonial', fillcolor = pink]
  Tradicional [label = 'Tradicional', fillcolor = pink]
  
  # Planos de construcción 
  Una [label = 'Una planta', fillcolor = pink]
  Dos [label = 'Dos pisos', fillcolor = pink]
  Desniveles [label = 'Desniveles', fillcolor = pink]
  
  # Conexiones desde la raíz
  raiz -> Tudor
  raiz -> Rustica
  raiz -> Colonial
  raiz -> Tradicional
  
  # Conexiones de cada fachada con los planos
  Tudor -> Una
  Tudor -> Dos
  Tudor -> Desniveles
  
  Rustica -> Una
  Rustica -> Dos
  Rustica -> Desniveles
  
  Colonial -> Una
  Colonial -> Dos
  Colonial -> Desniveles
  
  Tradicional -> Una
  Tradicional -> Dos
  Tradicional -> Desniveles
}
")

Como una extensión de la regla de la multiplicación se tiene: Si una operación se puede ejecutar en \(\small n_1\) formas, y si para cada una de éstas se puede llevar a cabo una segunda operación en \(\small n_2\) formas, y para cada una de las primeras dos se puede realizar una tercera operación en \(\small n_3\) formas, y así sucesivamente, entonces la serie de k operaciones se puede realizar en \(\small n_1\)*\(\small n_2\)…\(\small n_k\) formas

Definición 5: Permutación

Una permutación es un arreglo de todo o parte de un conjunto de objetos.

\[ \small {}_nP_k=\frac{n!}{(n-1)!} \]

Ejemplo 1

En un año se otorgará uno de tres premios (a la investigación, la enseñanza y el servicio) a algunos de los estudiantes, de un grupo de 25, de posgrado del departamento de estadística. Si cada estudiante puede recibir un premio como máximo, ¿cuántas selecciones posibles habría? Solución: Como los premios son distinguibles, se trata de un problema de permutación. El número total de puntos muestrales es

perm <- function(n,k){factorial(n)/factorial(n-k)}
perm(25,3)
## [1] 13800
Definición 6: Combinación

Una Combinación es un arreglo de todoo parte de un conjuto donde el orden no importa

\[ \small {}_nC_k=\frac{n!}{k(n-k)!} \] Ejemplo 1

Se quere saber de cuantas formas se puede organizar a individuos en grupos de a 3 en un grupo de 20, donde no importa el orden

k <- 3
n <- 20
sol <- choose(20,3) #hace la combinatoria
cat("El numero total es:", sol)
## El numero total es: 1140

reglas de conteo permutacion, multiplicacion, conteo

Definición 7: Probabilidad de un evento

La probabilidad de un evento A es la suma de los pesos de todos los puntos muestrales en A. Por lo tanto

\[ \small 0 ≤ P(A) ≤ 1 \]

\[ \small P((ϕ)=0 \]

\[ \small P(S)=1 \]

\[ \small P(A_1 U A_2 U A_3 U ...) = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) + ... \]

Ejemplo 1

Se carga un dado de forma que exista el doble de probabilidades de que salga un número par que uno impar. Si E es el evento de que ocurra un número menor que 4 en un solo lanzamiento del dado, calcule P(E).

S <-  1:6
E <- c(1,2,3)
impar <- 1/9
par <- 2/9
p.E <- 1/9 + 2/9 + 1/9
cat("P(E)=",p.E)
## P(E)= 0.4444444

Si un experimento puede dar como resultado cualquiera de N diferentes resultados que tienen las mismas probabilidades de ocurrir, y si exactamente n de estos resultados corresponden al evento A, entonces la probabilidad del evento A es

\[ \small P(A)= \frac{n(A)}{n(S)} \] Ejemplo 2:

En una mano de póquer que consta de 5 cartas encuentre la probabilidad de tener 2 ases y 3 jotas.

t <- 52 #Total de cartas
a <- 5 #Maso
s <- choose(t,a)
ases <- 4
jotas <- 4
A <- choose(ases,2)*choose(jotas,3)
p.A <- A/s
cat("La probabilidad de tener 2 ases y 3 jotas es:", p.A)
## La probabilidad de tener 2 ases y 3 jotas es: 9.234463e-06