Introducción

En esta parte del curso se desarrollarán los capítulos 2,3,4, 5 y 6 del libro de Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias de Walpole.

Definición 1: Espacio muestral

El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. El espacio muestra, se simboliza con la letra \(S\).

Ejemplo 1

Se lanza una moneda al aire, entonces: \[ S = \{cara, sello\} \] ###### Ejemplo 1 Se lanza una moneda al aire dos veces, entonces, \[ S = \{cc, cs,sc,ss\} \]

library(DiagrammeR)

# Diagrama en formato DOT
grViz("
digraph arbol_moneda {
  node [shape=circle, style=filled, color=lightblue]

  Inicio -> Cara1 [label='Cara']
  Inicio -> Sello1 [label='Sello']

  Cara1 -> Cara2 [label='Cara']
  Cara1 -> Sello2 [label='Sello']

  Sello1 -> Cara3 [label='Cara']
  Sello1 -> Sello3 [label='Sello']

  Inicio [label='Inicio']
  Cara1 [label='Cara']
  Sello1 [label='Sello']
  Cara2 [label='Cara']
  Sello2 [label='Sello']
  Cara3 [label='Cara']
  Sello3 [label='Sello']
}
")

Nota Cuando el número de elementos de \(S\) es grande lo mejor calcular sus elementos.

Ejemplo 2: Cuántos elementos tiene el espacio muestral del experimento de conocer todas las respuestas posibles de un cuestionario de 5 preguntas de opción múltiple con cuatro posibilidades?

Solución \(n(S)= 4^5\)

Definición 2: Evento

Un evento es cualquier subconjunto de un espacio muestral. Se simbolizan con letras mayúsculas.

Ejemplo 3

Sea \(S=\{1,2,3,4,5,6\}\) que representa el espacio muestral del lanzamiento de un dado legal. Se definen los siguientes eventos:

\(A=\{1,2,4,5\}\), \(B=\{1,3,4,6\}\), \(C=\{1,2,5,6\}\)

Definición 3: operaciones entre conjuntos
  • Unión \(A\cup B\)
  • Intersección \(A\cap B\)
  • El complemento \(A^c\)

La unión de dos eventos A y B, que se denota con el símbolo A ∪ B, es el evento que contiene todos los elementos que pertenecen a A o a B, o a ambos. \(A\cup B = \{x: x\in A \vee x\in B\}\)

Si S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y A = {0, 2, 4, 6, 8}, B = {1, 3, 5, 7, 9}, C = {2, 3, 4, 5} y D = {1, 6, 7}, liste los elementos de los conjuntos que correspon den a los siguientes eventos:

  1. A ∪ C;
  2. A ∩ B;
  3. C;
  4. (C ∩ D) ∪ B;
  5. (S ∩ C);
  6. A ∩ C ∩ D.
S <- 0:9
A <- c(0, 2, 4, 6, 8)
B <- c(1, 3, 5, 7, 9)
C <- c(2, 3, 4, 5)
D <- c(1, 6, 7)

a <- union(A,C);a
## [1] 0 2 4 6 8 3 5
b <- intersect(A,B);b
## numeric(0)
c <- setdiff(S,C);c
## [1] 0 1 6 7 8 9
d <- union(intersect(setdiff(S,C),D),B);d
## [1] 1 6 7 3 5 9
e <- intersect(S,C);e
## [1] 2 3 4 5

Tecnicas de conteo

Las tecnicas de conteo sirven para determinar el numero de puntos muestrales en un evento o en el espacio muestra. Veremos tres metodos de conteo: a. Regla del producto. b. Permutacion. c. Combinatoria.

Si una operación se puede llevar a cabo en \(n_1\) formas, y si para cada una de éstas se puede realizar una segunda operación en \(n_2\) formas, entonces las dos operaciones se pueden ejecutar juntas de \(n_1\)*\(n_2\) formas.

Ejemplo 5 Un urbanista de una nueva subdivisión ofrece a los posibles compradores de una casa elegir entre Tudor, rústica, colonial y tradicional el estilo de la fachada, y entre una

planta, dos pisos y desniveles el plano de construcción. ¿En cuántas formas diferentes puede un comprador ordenar una de estas casas?

Solucion

Grafica del ejemplo
Grafica del ejemplo

Como una extencion de la regla de la multipicacion se tiene:

Si una operación se puede ejecutar en \(n_1\) formas, y si para cada una de éstas se puede llevar a cabo una segunda operación en \(n_2\) formas, y para cada una de las primeras dos se puede realizar una tercera operación en \(n_3\) formas, y así sucesivamente, entonces la serie de k operaciones se puede realizar en \(n_1n_2...n_k\) formas.

Definicion:

Una permutacion es un arreglo de todo o parte de un conjunto de objetos

\[ {}_nP_k = \frac{n!}{(n - 1)!} \]

Ejemplo 2.18: En un año se otorgará uno de tres premios (a la investigación, la enseñanza y el servicio) a algunos de los estudiantes, de un grupo de 25, de posgrado del departamento de esta dística. Si cada estudiante puede recibir un premio como máximo, ¿cuántas selecciones posibles habría?

perm <- function(n,k){(factorial(n)/factorial(n-k))}

perm
## function (n, k) 
## {
##     (factorial(n)/factorial(n - k))
## }

Definicion:

Una combinacion es un arreglo de todo o parte de conjunto donde el orden no importa

\[ {}_nC_k = \frac{n!}{k!(n - k)!} \]

Ejemplo 2.18: Se quiere saber el numero de cauntas formas se puede organizar individuos en grupos de a tres de un conjunto de 20 individuos en los que no imprta el orden.

k <- 3
n <- 20
sol <- choose(20,3)
cat("El numero total es:",sol)
## El numero total es: 1140

Probabilidad de un evento

La probabilidad de un evento A es la suma de los pesos de todos los puntos muestrales en A. Por lo tanto,

$$ 0 ≤ P(A) ≤ 1

\[ \] P(ϕ) = 0 \[ \] P(S) = 1 \[ Además, si $A_1$, $A_2$, $A_3$,··· es una serie de eventos mutuamente excluyentes, entonces: \] P(A_1 ∪ A_2 ∪ A_3 ∪ ···) = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) + ··· $$

Ejemplo 2.25:

Se carga un dado de forma que exista el doble de probabilidades de que salga un número par que uno impar. Si E es el evento de que ocurra un número menor que 4 en un solo lanzamiento del dado, calcule P(E).

S <- 1:6
E <- c(1,2,3)
impar <- 1/9
par <- 2/9
p.E <- 1/9 + 2/9 + 1/9
cat("P(E)=",p.E)
## P(E)= 0.4444444

Definicion:

Si un experimento puede dar como resultado cualquiera de N diferentes resultados que tienen las mismas probabilidades de ocurrir, y si exactamente n de estos resultados corresponden al evento A, entonces la probabilidad del evento A es

\[ p(A)= \frac{n(A)}{n(S)} \] #### Ejemplo 2.28: En una mano de póquer que consta de 5 cartas encuentre la probabilidad de tener 2 ases y 3 jotas.

t <- 52 #Total de cartas
a <- 5 #Total de cada participante
S <- choose(t,a)
ases <- 4
jotas <- 4
A <- choose(ases,2)*choose(jotas,3)
P.A <- A/S
cat("La probabilidad de tener 2 ases y 3 jotas es: ",P.A)
## La probabilidad de tener 2 ases y 3 jotas es:  9.234463e-06