Probabilidad

Introducción

En esta parte del curso se desarrollarán los capítulos 2,3,4, 5 y 6 del libro de Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias de Walpole.

Definición 1: Espacio muestral

El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. El espacio muestra, se simboliza con la letra \(S\).

Ejemplo 1

Se lanza una moneda al aire, entonces: \[ S = \{cara, sello\} \] ###### Ejemplo 1 Se lanza una moneda al aire dos veces, entonces, \[ S = \{cc, cs,sc,ss\} \]

library(DiagrammeR)

# Diagrama en formato DOT
grViz("
digraph arbol_moneda {
  node [shape=circle, style=filled, color=lightblue]

  Inicio -> Cara1 [label='Cara']
  Inicio -> Sello1 [label='Sello']

  Cara1 -> Cara2 [label='Cara']
  Cara1 -> Sello2 [label='Sello']

  Sello1 -> Cara3 [label='Cara']
  Sello1 -> Sello3 [label='Sello']

  Inicio [label='Inicio']
  Cara1 [label='Cara']
  Sello1 [label='Sello']
  Cara2 [label='Cara']
  Sello2 [label='Sello']
  Cara3 [label='Cara']
  Sello3 [label='Sello']
}
")

Nota Cuando el número de elementos de \(S\) es grande lo mejor calcular sus elementos.

Ejemplo 2: Cuántos elementos tiene el espacio muestral del experimento de conocer todas las respuestas posibles de un cuestionario de 5 preguntas de opción múltiple con cuatro posibilidades?

Solución \(n(S)= 4^5\)

Definición 2: Evento

Un evento es cualquier subconjunto de un espacio muestral. Se simbolizan con letras mayúsculas.

Ejemplo 3

Sea \(S=\{1,2,3,4,5,6\}\) que representa el espacio muestral del lanzamiento de un dado legal. Se definen los siguientes eventos:

\(A=\{1,2,4,5\}\), \(B=\{1,3,4,6\}\), \(C=\{1,2,5,6\}\)

Definición 3: operaciones entre conjuntos

Unión \(A\cup B\)
Intersección \(A\cap B\)
El complemento \(A^c\)

La unión de dos eventos A y B, que se denota con el símbolo A ∪ B, es el evento que contiene todos los elementos que pertenecen a A o a B, o a ambos. \(A\cup B = \{x: x\in A \vee x\in B\}\)

Ejercicio 2.14 : operaciones entre conjuntos

Si S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y A = {0, 2, 4, 6, 8}, B = {1, 3, 5, 7, 9}, C = {2, 3, 4, 5} y D = {1, 6, 7}, liste los elementos de los conjuntos que corresponden a los siguientes eventos:

A ∪ C;
A ∩ B;
C´;
(C´ ∩ D) ∪ B;
(S ∩ C)’ ;
A ∩ C ∩ D´.

Solución

S <- 0:9
A <- c(0, 2, 4, 6, 8)
B <- c(1, 3, 5, 7, 9)
C <- c(2, 3, 4, 5)
D <- c(1, 6, 7)


a <- union(A,C); a

## [1] 0 2 4 6 8 3 5

b <- intersect(A, B); b

## numeric(0)

c <- setdiff(S, C); c

## [1] 0 1 6 7 8 9

d <- union(intersect(setdiff(S,C),D),B); d

## [1] 1 6 7 3 5 9

e <- intersect(S,C)

Tecnicas de conteo

Las tecnicas de conteo sirven para determinar el numero de puntos muestrasles en un evento o en el espacio muestra. Veremos tres metodos de conteo: a)Regla del producto b)Permutacion C)Combinacion

Si una operación se puede llevar a cabo en \(n_1\) formas, y si para cada una de éstas se puede realizar una segunda operación en n2 formas, entonces las dos operaciones se pueden ejecutar juntas de \(n_1*n_2\) formas.

Ejemplo 2.14: Un urbanista de una nueva subdivisión ofrece a los posibles compradores de una casa elegir entre Tudor, rústica, colonial y tradicional el estilo de la fachada, y entre una planta, dos pisos y desniveles el plano de construcción. ¿En cuántas formas diferentes puede un comprador ordenar una de estas casas?

Solucion

Grafica del ejemplo

A continuación se formula la regla de multiplicación generalizada que cubre k operaciones. Regla 2.2: Si una operación se puede ejecutar en n1 formas, y si para cada una de éstas se puede llevar a cabo una segunda operación en n2 formas, y para cada una de las primeras dos se puede realizar una tercera operación en n3 formas, y así sucesivamente, entonces la serie de k operaciones se puede realizar en n1n2…nk formas

Permutacion

Una permutación es un arreglo de todo o parte de un conjunto de objetos

\[ {}_nP_k =\frac{n!}{(n-1)!} \]

Ejemplo 2.18: En un año se otorgará uno de tres premios (a la investigación, la enseñanza y el servicio) a algunos de los estudiantes, de un grupo de 25, de posgrado del departamento de estadística. Si cada estudiante puede recibir un premio como máximo, ¿cuántas selecciones posibles habría?

perm <- function(n,k){ (factorial(n)/factorial(n-k))}

perm(25,3)

## [1] 13800

Combinacion

Una combinacion es una arreglo de todo o parte de un conjunto dodne el orden no importa \[ {}_nC_k =\frac{n!}{k! (n-k)!} \]

Ejemeplo 2.19: se quiere sabr de cuantas formas se puede organizar individos en grupos de 3 de un conjunto de 20 individuos en los que no importa el orden

k <-  3
n <- 20
sol <-  choose(20,3)
cat("El numero total es:", sol)

## El numero total es: 1140

b <- factorial(n)/(factorial(k)*factorial(n-k));b

## [1] 1140

Probabilidad de un evento

La probabilidad de un evento A es la suma de los pesos de todos los puntos muestrales en A. Por lo tanto,

\[ O \leq P(A) \leq 1 \] \[ P(Φ) = 0 \]

\[ P(S) = 1 \] Además, si A1, A2, A3,··· es una serie de eventos mutuamente excluyentes, entonces \[ P(A1 ∪ A2 ∪ A3∪ ···) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + ···. \]

Ejemplo 2.25:

Se carga un dado de forma que exista el doble de probabilidades de que salga un número par que uno impar. Si E es el evento de que ocurra un número menor que 4 en un solo lanzamiento del dado, calcule P(E).

#X = probabilidad de que se obtegan un impar
#Y = probabilidad de que salga un par
#la probabilidad para cada elemento del espacio muestral tenemos 9x= 1
# por lo tanto  x = 1/9 y como "Y" es el doble de X,  Y = 2/9

s <-  1:6 #Espacio muestral
E <- 1:3
impar <- 1/9
par <- 2/9
p.E <- 1/9 + 2/9 + 1/9
cat("P(E)", p.E)

## P(E) 0.4444444

Definicion 2.3:

Si un experimento puede dar como resultado cualquiera de N diferentes resultados que tienen las mismas probabilidades de ocurrir, y si exactamente n de estos resultados corresponden al evento A, entonces la probabilidad del evento A es

\[ P(A) =\frac{n(A)}{n(S)} \]

Ejemplo 2.23

En una mano de póquer que consta de 5 cartas encuentre la probabilidad de tener 2 ases y 3 jotas

t <- 52 # Total de cartas
a <- 5 #Total de cartas para cada participantes
s <- choose(t,a);s

## [1] 2598960

ases <- 4
jotas <- 4
A <-choose(ases,2)*choose(jotas,3);A

## [1] 24

p.A <- A/s
cat("La probabilidad de tener 2 ases y 3 jotas es", p.A)

## La probabilidad de tener 2 ases y 3 jotas es 9.234463e-06

Reaglas aditivias

Si A y B son dos eventos,entonces \[ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B). \]

knitr::include_graphics("imag3.png")

Regla 2

Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces \[P(A ∪ B) = P(A) + P(B)\] #### Regla 3 si a y b son mutuamente excluyentes \(\ A_1, A_2,...,A_n\) entonces \(P(A_1 ∪ A_2∪ ··· ∪ A_n)= P(A_1) + P(A2_) + ··· + P(An_).\)

Regla 4

Si \(A_1, A_n,..., A_n\) es una partición de un espacio muestral S, entonces \(P(A_1 ∪ A_2 ∪ ··· ∪ A_n) = P(A_2) + .. P(S) = 1\)

En un grupo de 100 estudiantes graduados de preparatoria, 54 estudiaron matemáticas, 69 estudiaron historia y 35 cursaron matemáticas e historia. Si se se lecciona al azar uno de estos estudiantes, calcule la pro babilidad de que:

el estudiante haya cursado matemáticas o historia;
el estudiante no haya llevado ninguna de estas ma terias;
el estudiante haya cursado historia pero no mate máticas.

Solucion a

## La probabilidad solicitada es 0.88

Solucion b

## La probabilidad de que no estudie nada es 0.12

Solucion c

## Teniendo en cuenta el diagrama de Venn del ejercisio. La probabilidad de que estudie historia pero no matematicas es 0.34

knitr::include_graphics("conjunto.jpg")

###PROBABILIDAD CONDICIONAL INDEPENDENCIA Y REGLA DEL PRODUCTO

Ejemplo Suponga que se tiene en una ciudad \(\small n\) individuos , los cuales se dividen en las sigientes categorias: \(\small A\): el individuo es hombre \(\small A^C\): el individio es mujer \(\small F\): el individuo fuma \(\small F^C\): el individuo no fuma

Se elabora una tabla con la información siguiente

Definicion 2.10 La probabilidad condicional de B, dado A, que se denota con P(B|A), se define como

\[P(B/A)=P(A∩B)/ P(A) \]

,siempre que \(P(A) > 0.\)

library(knitr)
t.e <- data.frame("categoria"=c("Fuma", "No fuma", "Total"), 
                  "Hombre"=c("n11","n21","n11+n21"),
                  "Mujer"=c("n12","n22","n12+n22"),
                  "Total" = c("n11+n12","n21+n22","n"))
kable(t.e)

categoria	Hombre	Mujer	Total
Fuma	n11	n12	n11+n12
No fuma	n21	n22	n21+n22
Total	n11+n21	n12+n22	n