1 Pendahuluan

Laporan ini menyajikan analisis pertumbuhan berat ayam pada dataset ChickWeight menggunakan model non-linear logistik dan membandingkannya dengan regresi linear pada data yang sama. Kami melaporkan ukuran goodness-of-fit berupa SSE (Sum of Squared Errors) dan R², menampilkan visualisasi hasil pemodelan, dan mendiskusikan mengapa model non-linear lebih sesuai untuk fenomena pertumbuhan biologis yang umumnya bersifat sigmoidal.

Selain itu, laporan ini juga memuat simulasi pertumbuhan eksponensial (misalnya analogi pertumbuhan bakteri), estimasi parameternya dengan nls(), serta interpretasi hasilnya.

1.1 Rumus-Rumus Kunci

  • Model logistik (parameterisasi SSlogis)
    \[ f(t;\,\text{Asym}, x_{\text{mid}}, \text{scal}) \;=\; \frac{\text{Asym}}{1 + \exp\left(\frac{x_{\text{mid}} - t}{\text{scal}}\right)} \] dengan:

    • \(\text{Asym}\): asimtot (batas atas) berat,
    • \(x_{\text{mid}}\): waktu saat mencapai setengah asimtot,
    • \(\text{scal}\): skala yang mengontrol kemiringan kurva.

  • Regresi linear
    \[ y_i \;=\; \beta_0 + \beta_1 t_i + \varepsilon_i,\quad \varepsilon_i \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2) \]

  • Ukuran Goodness-of-Fit
    \[ \text{SSE} = \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2,\qquad \text{SST} = \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2,\qquad R^2 = 1 - \frac{\text{SSE}}{\text{SST}} \] Untuk model nls, \(R^2\) dihitung sebagai pseudo-\(R^2\) dengan rumus di atas.

2 Data & Pra-Pemrosesan

data("ChickWeight", package = "datasets")

# Pilih satu ekor ayam agar bentuk kurva terlihat jelas dan comparable
# Jika ingin ganti, ubah nilai chick_id berikut (1–50).
chick_id <- 1
dat <- subset(ChickWeight, Chick == chick_id)

# Tampilkan ringkasan
summary(dat)
##      weight            Time           Chick    Diet  
##  Min.   : 42.00   Min.   : 0.00   1      :12   1:12  
##  1st Qu.: 62.75   1st Qu.: 5.50   18     : 0   2: 0  
##  Median : 99.50   Median :11.00   16     : 0   3: 0  
##  Mean   :111.67   Mean   :10.92   15     : 0   4: 0  
##  3rd Qu.:154.50   3rd Qu.:16.50   13     : 0         
##  Max.   :205.00   Max.   :21.00   9      : 0         
##                                   (Other): 0
head(dat)

3 Pemodelan Non-Linear (Logistik) vs Linear

3.1 Estimasi Model Non-Linear Logistik

# Model non-linear logistik dengan self-start
m_nl <- nls(weight ~ SSlogis(Time, Asym, xmid, scal), data = dat)

# Koefisien & interval kepercayaan (normal approximation agar stabil)
coef_nl <- coef(m_nl)
ci_nl   <- confint.default(m_nl)

coef_nl
##      Asym      xmid      scal 
## 937.03024  35.22296  11.40521
ci_nl
##          2.5 %     97.5 %
## Asym 23.945795 1850.11468
## xmid 18.931692   51.51424
## scal  9.630959   13.17946

3.2 Estimasi Model Linear Sederhana

m_lm <- lm(weight ~ Time, data = dat)
summary(m_lm)
## 
## Call:
## lm(formula = weight ~ Time, data = dat)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -14.3202 -11.3081  -0.3444  11.1162  17.5346 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  24.4654     6.7279   3.636  0.00456 ** 
## Time          7.9879     0.5236  15.255 2.97e-08 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 12.29 on 10 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9588, Adjusted R-squared:  0.9547 
## F-statistic: 232.7 on 1 and 10 DF,  p-value: 2.974e-08

3.3 Perbandingan SSE dan R²

# Prediksi & residu
pred_nl <- predict(m_nl)
pred_lm <- predict(m_lm)

y <- dat$weight
ybar <- mean(y)

# SSE
sse_nl <- sum((y - pred_nl)^2)
sse_lm <- sum((y - pred_lm)^2)

# SST
sst <- sum((y - ybar)^2)

# R^2
r2_nl <- 1 - sse_nl / sst
r2_lm <- summary(m_lm)$r.squared

# Tabel ringkas
comp <- data.frame(
  Model = c("Nonlinear (Logistik)", "Linear"),
  SSE   = c(sse_nl, sse_lm),
  R2    = c(r2_nl, r2_lm)
)
comp

3.4 Visualisasi: Data & Kurva Fitted

library(ggplot2)

# Buat grid waktu halus untuk kurva yang mulus
grid_t <- data.frame(Time = seq(min(dat$Time), max(dat$Time), length.out = 200))

# Prediksi pada grid
grid_t$pred_nl <- predict(m_nl, newdata = grid_t)
grid_t$pred_lm <- predict(m_lm, newdata = grid_t)

ggplot(dat, aes(Time, weight)) +
  geom_point(size = 2, alpha = 0.8) +
  geom_line(data = grid_t, aes(Time, pred_nl), linewidth = 1) +
  geom_line(data = grid_t, aes(Time, pred_lm), linewidth = 1, linetype = "dashed") +
  labs(title = paste("Chick", chick_id, ": Nonlinear Logistik vs Regresi Linear"),
       subtitle = "Garis penuh: Nonlinear (SSlogis) | Garis putus-putus: Linear",
       x = "Waktu (hari)", y = "Berat") +
  theme_minimal(base_size = 12)

3.5 Diskusi: Mengapa Model Non-Linear Lebih Sesuai?

Secara biologis, pertumbuhan berat makhluk hidup sering mengikuti pola sigmoidal: fase lambat (adaptasi), diikuti cepat (eksponensial), lalu jenuh (mendekati asimtot). Model logistik menangkap ketiga fase ini melalui parameter \(\text{Asym}\), \(x_{\text{mid}}\), dan \(\text{scal}\). Sebaliknya, regresi linear mengasumsikan laju pertambahan konstan sepanjang waktu, sehingga tidak mampu merepresentasikan perlambatan alami menjelang kedewasaan.

Dari hasil perbandingan metrik, SSE yang lebih kecil dan R² (pseudo-\(R^2\)) yang lebih tinggi pada model logistik mengindikasikan kecocokan yang lebih baik dengan data. Visualisasi juga menunjukkan bahwa kurva logistik mengikuti pola data secara lebih realistis, terutama pada bagian awal dan akhir pertumbuhan, di mana regresi linear cenderung over/under-fit.

4 Simulasi: Pertumbuhan Eksponensial & Estimasi nls()

4.1 Spesifikasi Model & Generasi Data

Kita mensimulasikan proses pertumbuhan eksponensial yang sering digunakan untuk memodelkan pertumbuhan bakteri pada tahap awal:

\[ y(t) \;=\; A\,\exp(rt) \;+\; \varepsilon,\qquad \varepsilon \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2) \]

dengan \(A>0\) adalah konstanta skala (ukuran awal) dan \(r>0\) adalah laju pertumbuhan.

set.seed(123)

n  <- 60
t  <- seq(0, 6, length.out = n)          # waktu (jam atau satuan lain)
A0 <- 5                                   # true A
r0 <- 0.45                                # true r
sigma <- 2                                # noise sd

y_true <- A0 * exp(r0 * t)
y_obs  <- y_true + rnorm(n, sd = sigma)

simdat <- data.frame(t = t, y = y_obs, y_true = y_true)
head(simdat)

4.2 Estimasi Parameter dengan nls()

m_exp <- nls(y ~ A * exp(r * t), data = simdat,
             start = list(A = 1, r = 0.1))

coef_exp <- coef(m_exp)
ci_exp   <- confint.default(m_exp)

coef_exp
##         A         r 
## 4.9987017 0.4511008
ci_exp
##       2.5 %    97.5 %
## A 4.6505225 5.3468810
## r 0.4373722 0.4648293

4.3 Evaluasi Goodness-of-Fit & Visualisasi

pred_exp <- predict(m_exp)
sse_exp  <- sum((simdat$y - pred_exp)^2)
sst_exp  <- sum((simdat$y - mean(simdat$y))^2)
r2_exp   <- 1 - sse_exp / sst_exp

data.frame(SSE = sse_exp, R2 = r2_exp)
# Visualisasi: data, true curve, dan fitted curve
grid_s <- data.frame(t = seq(min(simdat$t), max(simdat$t), length.out = 200))
grid_s$pred_true <- A0 * exp(r0 * grid_s$t)
grid_s$pred_fit  <- predict(m_exp, newdata = grid_s)

ggplot(simdat, aes(t, y)) +
  geom_point(size = 2, alpha = 0.8) +
  geom_line(data = grid_s, aes(t, pred_true), linewidth = 1, linetype = "dotted") +
  geom_line(data = grid_s, aes(t, pred_fit), linewidth = 1) +
  labs(title = "Simulasi Pertumbuhan Eksponensial: Data vs True Curve vs Fitted",
       subtitle = "Titik: data ber-noise | Garis putus-putus: true | Garis penuh: fitted nls",
       x = "Waktu (t)", y = "y") +
  theme_minimal(base_size = 12)

4.4 Interpretasi

Hasil estimasi nls() mengembalikan parameter \(\hat{A}\) dan \(\hat{r}\) yang mendekati nilai sebenarnya \((A_0, r_0)\), dengan R² tinggi yang menandakan kecocokan model yang baik terhadap data simulasi. Perbedaan kecil antara kurva true dan fitted terutama berasal dari komponen noise \(\varepsilon\). Semakin kecil \(\sigma\), kurva fitted akan semakin menumpuk pada kurva true.

5 Kesimpulan

  1. Model non-linear logistik memberikan kecocokan yang lebih baik dibanding regresi linear untuk data pertumbuhan ayam (ChickWeight), sebagaimana dibuktikan oleh SSE yang lebih kecil, R² yang lebih tinggi, dan kurva yang lebih representatif terhadap dinamika biologis.
  2. Simulasi eksponensial menunjukkan bahwa nls() mampu mengestimasi parameter pertumbuhan dengan akurat pada data yang sesuai dengan struktur model, dan metrik goodness-of-fit mengonfirmasi kecocokan tersebut.
  3. Pemilihan model harus mempertimbangkan mekanisme proses yang mendasari data. Untuk fenomena pertumbuhan dengan fase jenuh/asimtot, model logistik atau keluarga kurva pertumbuhan lain (Gompertz, Richards) biasanya lebih tepat daripada model linear sederhana.

```