THE RETURN OF VARMA MODELS.

RISULTATI PRINCIPALI

VARMA(2,2)

Genero 4 matrici con rango ridotto(con lo stesso sottospazio colonna) e con autovalori stabili per generare il modello VARMA iniziale.

## VARMA(2, 2) model with 3 time series
## 
## AR part:
##          y1_[t-1]     y2_[t-1]     y3_[t-1]
## y1_t -0.055124016  0.096861797 -0.104375471
## y2_t  0.004094486 -0.006493087  0.007516678
## y3_t -0.075303606  0.142533581 -0.146021661
##         y1_[t-2]    y2_[t-2]     y3_[t-2]
## y1_t -0.10056237 -0.10028986 -0.097198979
## y2_t  0.00814936  0.00807404  0.007894713
## y3_t -0.12747976 -0.12790927 -0.122955310
## 
## MA part:
##         e1_[t-1]    e2_[t-1]     e3_[t-1]
## y1_t  0.13011394  0.28884436  0.072228480
## y2_t -0.01093459 -0.02188675 -0.006873341
## y3_t  0.15925784  0.38829398  0.076712193
##         e1_[t-2]     e2_[t-2]    e3_[t-2]
## y1_t  0.18851537  0.025951664  0.23674342
## y2_t -0.01487916 -0.003482067 -0.01820323
## y3_t  0.24476464  0.012824012  0.31440641
## 
## Covariance matrix:
##     e1  e2  e3
## e1 1.0 0.2 0.2
## e2 0.2 1.0 0.2
## e3 0.2 0.2 1.0

Controllo stazionarietà e non identificabilità

Radici unitarie

Varma stazionario dato che i suoi autovalori sono all’interno del cerchio unitario.

Varma non identificato data la costruzione del VARMA.

Numero di ritardi: 7

Valori della IRF

## 
##   IRF ritardo 0 
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    0    0
## [2,]    0    1    0
## [3,]    0    0    1
## 
##   IRF ritardo 1 
##              [,1]        [,2]          [,3]
## [1,]  0.074989923  0.38570615 -0.0321469906
## [2,] -0.006840102 -0.02837984  0.0006433365
## [3,]  0.083954236  0.53082756 -0.0693094687
## 
##   IRF ritardo 2 
##              [,1]        [,2]       [,3]
## [1,]  0.074393949 -0.15375416  0.1486130
## [2,] -0.005747288  0.01034557 -0.0109653
## [3,]  0.098403788 -0.22568773  0.2040843
## 
##   IRF ritardo 3 
##              [,1]         [,2]         [,3]
## [1,] -0.029943965 -0.054503310 -0.020650590
## [2,]  0.002300279  0.004711709  0.001409767
## [3,] -0.039797803 -0.064799618 -0.030016975
## 
##   IRF ritardo 4 
##               [,1]         [,2]         [,3]
## [1,] -0.0104422295  0.046585260 -0.029274020
## [2,]  0.0009000406 -0.003692042  0.002414418
## [3,] -0.0124537626  0.060264773 -0.036496702
## 
##   IRF ritardo 5 
##               [,1]          [,2]         [,3]
## [1,]  0.0086115116  0.0020911535  0.010509833
## [2,] -0.0006818544 -0.0002499926 -0.000803755
## [3,]  0.0111495161  0.0014786143  0.014020841
## 
##   IRF ritardo 6 
##               [,1]          [,2]         [,3]
## [1,]  4.658406e-04 -0.0104659426  0.004128536
## [2,] -5.265503e-05  0.0008469031 -0.000353560
## [3,]  3.735697e-04 -0.0132853186  0.004957145
## 
##   IRF ritardo 7 
##               [,1]          [,2]          [,3]
## [1,] -0.0019511033  0.0017166793 -0.0031183289
## [2,]  0.0001577525 -0.0001215168  0.0002463106
## [3,] -0.0024786040  0.0024323728 -0.0040460584

Procedimento degli eseperimenti seguenti: genero inizialmente una serie dal modello originale con la funzione sim_varma, poi uso questi dati per stimarmi un vamra attraverso la funzione ih_varma, controllo che il varma sia stazionario(altrimenti ripeto i passaggi), poi stimo le IRF del nuovo modello stimato e calcolo le metriche finali. Itero il processo un numero di volte uguale al numero di simulazioni.

Numero di n nel varma simulato: 1000

Primo esperimento

Numero simulazioni: 5

Numero valori del campione: 1000

Medie dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1]  0.049842295  0.125091917 -0.021663373 -0.003375558  0.006604306
## [6] -0.007663036 -0.004180961

RMSE

## [1] 0.16611375 0.18158947 0.07729989 0.05464740 0.03591879 0.03767449 0.03442383

Varianze dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1] 0.001823620 0.008421023 0.005938799 0.002866746 0.001323592 0.001590621
## [7] 0.001327252

COverage

## [1] 0.5972222

secondo esperimento

Simulazioni: 100

Medie dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1]  0.043914240  0.114388914 -0.020319206 -0.017750138  0.010939626
## [6]  0.003098085 -0.003734088

RMSE

## [1] 0.17563170 0.17251558 0.07328260 0.06180167 0.05386401 0.03486347 0.04066545

Varianze dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1] 0.001847061 0.004911541 0.004323581 0.002666011 0.002817563 0.001175642
## [7] 0.001659433

COverage

## [1] 0.7777778

Terzo esperimento

Simulazioni: 1000

Medie dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1]  0.0423603595  0.1088392776 -0.0061223733 -0.0118103805  0.0030373320
## [6]  0.0023609406  0.0006413962

RMSE

## [1] 0.17611646 0.16670558 0.06694291 0.06078254 0.04647417 0.03954663 0.03463884

Varianze dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1] 0.001871840 0.004409747 0.003770466 0.002676847 0.002138561 0.001541768
## [7] 0.001198365

COverage

## [1] 0.8055556

Quarto esperimento

Simulazioni: 3000

Medie dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1]  0.0419143178  0.1101559822 -0.0084006094 -0.0121185480  0.0033463373
## [6]  0.0033422293  0.0004678122

RMSE

## [1] 0.17562815 0.16713595 0.06658120 0.06033606 0.04469775 0.03894121 0.03398299

Varianze dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1] 0.001836717 0.004425558 0.003689492 0.002612112 0.001966742 0.001481384
## [7] 0.001152830

COverage

## [1] 0.8194444

Confronto

## [1] "Medie"
##            [,1]      [,2]         [,3]         [,4]        [,5]         [,6]
## [1,] 0.04984230 0.1250919 -0.021663373 -0.003375558 0.006604306 -0.007663036
## [2,] 0.04391424 0.1143889 -0.020319206 -0.017750138 0.010939626  0.003098085
## [3,] 0.04236036 0.1088393 -0.006122373 -0.011810380 0.003037332  0.002360941
## [4,] 0.04191432 0.1101560 -0.008400609 -0.012118548 0.003346337  0.003342229
##               [,7]
## [1,] -0.0041809606
## [2,] -0.0037340881
## [3,]  0.0006413962
## [4,]  0.0004678122
## [1] "RMSE"
##           [,1]      [,2]       [,3]       [,4]       [,5]       [,6]       [,7]
## [1,] 0.1661138 0.1815895 0.07729989 0.05464740 0.03591879 0.03767449 0.03442383
## [2,] 0.1756317 0.1725156 0.07328260 0.06180167 0.05386401 0.03486347 0.04066545
## [3,] 0.1761165 0.1667056 0.06694291 0.06078254 0.04647417 0.03954663 0.03463884
## [4,] 0.1756281 0.1671360 0.06658120 0.06033606 0.04469775 0.03894121 0.03398299
## [1] "Varianze"
##             [,1]        [,2]        [,3]        [,4]        [,5]        [,6]
## [1,] 0.001823620 0.008421023 0.005938799 0.002866746 0.001323592 0.001590621
## [2,] 0.001847061 0.004911541 0.004323581 0.002666011 0.002817563 0.001175642
## [3,] 0.001871840 0.004409747 0.003770466 0.002676847 0.002138561 0.001541768
## [4,] 0.001836717 0.004425558 0.003689492 0.002612112 0.001966742 0.001481384
##             [,7]
## [1,] 0.001327252
## [2,] 0.001659433
## [3,] 0.001198365
## [4,] 0.001152830
## [1] "Coverage"
##                [,1]
## coverage1 0.5972222
## coverage2 0.7777778
## coverage3 0.8055556
## coverage4 0.8194444

Numero di valori del campione stimato aumentato

Primo esperimento

Numero di valori del campione

## [1] 3000

Numero simulazioni: 100

Medie dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1]  0.0431088012  0.1042654602 -0.0075994010 -0.0083517571  0.0014819920
## [6] -0.0004802593 -0.0006669929

RMSE

## [1] 0.16968601 0.15525729 0.05965679 0.05490351 0.03815523 0.03408322 0.03122734

Varianze dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1] 0.0006414595 0.0024956576 0.0028684801 0.0021158772 0.0014444625
## [6] 0.0011782454 0.0009809271

COverage

## [1] 0.7083333

Secondo esperimento

Numero di valori del campione

## [1] 10000

Numero simulazioni: 100

Medie dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1]  0.042182335  0.110588597 -0.009810943 -0.014283244  0.001493311
## [6]  0.003165290  0.005096568

RMSE

## [1] 0.16510673 0.15560548 0.05722066 0.05071848 0.03989527 0.03273710 0.02852056

Varianze dei errori dei parametri per ogni ritardo

## [1] 0.0001852577 0.0014391343 0.0025381041 0.0015268377 0.0016130070
## [6] 0.0010603417 0.0007933311

COverage

## [1] 0.6944444