De un conjunto
\[ B = \{ x \in \mathbb{N} \;|\; \forall t \in \mathbb{R} : \tfrac{1}{4}t^2 - t + 7 - x + \sqrt{68 - x^2} \geq 0 \} \]
se sacan tres números sin reemplazo. Calcule la probabilidad de que estos formen un número menor que 368. (1.4 puntos)
El conjunto \(B\) está definido por la condición:
\[ \tfrac{1}{4}t^2 - t + 7 - x + \sqrt{68 - x^2} \geq 0, \quad \forall t \in \mathbb{R}. \]
La parte cuadrática \[ f(t) = \tfrac{1}{4}t^2 - t + (7 - x + \sqrt{68 - x^2}) \] es una parábola abierta hacia arriba (coeficiente positivo).
Para que \(f(t) \geq 0 \,\, \forall t\), se requiere que su discriminante sea no positivo:
\[ \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot \tfrac{1}{4} \cdot (7 - x + \sqrt{68 - x^2}) \leq 0 \]
\[ \Delta = 1 - (7 - x + \sqrt{68 - x^2}) \leq 0 \]
\[ \implies 7 - x + \sqrt{68 - x^2} \geq 1 \]
\[ \implies \sqrt{68 - x^2} \geq x - 6 \]
con la restricción \(x \in \mathbb{N}\) y \(x^2 \leq 68 \implies x \leq 8\).
# Posibles valores de x
x_vals <- 1:8
valid_x <- x_vals[sqrt(68 - x_vals^2) >= (x_vals - 6)]
valid_x## [1] 1 2 3 4 5 6 7 8Se extraen 3 números distintos de \(B\) y se concatenan para formar un número
de 3 cifras.
Queremos la probabilidad de que dicho número sea menor que 368.
# Conjunto B
B <- valid_x
# Todas las permutaciones de 3 elementos
library(gtools)
perms <- permutations(length(B), 3, B)
# Formamos los números de tres cifras
nums <- perms[,1]*100 + perms[,2]*10 + perms[,3]
# Casos favorables
favorable <- sum(nums < 368)
# Probabilidad
probabilidad <- favorable / nrow(perms)
# Mostrar resultados
list(
Conjunto_B = B,
Total_casos = nrow(perms),
Casos_favorables = favorable,
Probabilidad = probabilidad
)## $Conjunto_B
## [1] 1 2 3 4 5 6 7 8
##
## $Total_casos
## [1] 336
##
## $Casos_favorables
## [1] 113
##
## $Probabilidad
## [1] 0.3363095La probabilidad de que los tres números seleccionados formen un número menor que 368 es:
\[ P = \texttt{0.3363095} \]