Se tiene el conjunto:
\[B = \{x \in \mathbb{N} \; | \; \forall t \in \mathbb{R}: \; \tfrac14 t^2 - t + 7 - x + \sqrt{68 - x^2} \ge 0\}\]
A partir de este conjunto se seleccionan tres números diferentes y en orden (sin reemplazo). Al colocarlos en el orden en que aparecen, forman un número de tres cifras. Se busca la probabilidad de que ese número sea menor que 368.
La condición incluye la expresión:
\[f(t) = \tfrac14 t^2 - t + c,\quad c = 7 - x + \sqrt{68 - x^2}.\]
Como el coeficiente de \(t^2\) es positivo, para que \(f(t) \ge 0\) para todo \(t\) basta con que el discriminante sea no positivo:
\[\Delta = 1 - c \le 0 \Rightarrow c \ge 1.\]
Sustituimos \(c\):
\[7 - x + \sqrt{68 - x^2} \ge 1 \Rightarrow \sqrt{68 - x^2} \ge x - 6.\]
Además, \(68 - x^2 \ge 0 \Rightarrow x \le 8.24\). Como \(x\) es natural, \(x\in\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\).
Comprobando para \(x = 7,8\): - \(x=7:\sqrt{19} \ge 1\) ✓ - \(x=8:\sqrt{4} = 2 \ge 2\) ✓
Así que:
\[B = \{1,2,3,4,5,6,7,8\}. \]
Se toman tres dígitos distintos en orden, entonces:
\[|\Omega| = 8 \times 7 \times 6 = 336. \]
Si el primer dígito es 1 o 2, cualquier combinación de los otros dos es válida (todos los números \(< 300\)). - Para cada uno: \(7\times6=42\) números. - Subtotal: \(2\times42=84\).
Si el primer dígito es 3, necesitamos \(300 + 10b + c < 368\) \(\Rightarrow 10b + c < 68\). Tras revisar combinaciones: - Total para primer dígito 3: 29 casos.
Para primer dígito mayor que 3 no hay opciones (superan 368).
Suma total de casos favorables: \(84+29=113\).
\[P = \frac{113}{336} \approx 0.3363 \; (33.63\%).\]
Parte del código:
B <- 1:8
perms3 <- perms(B, 3)
nums <- apply(perms3, 1, function(r) r[1]*100 + r[2]*10 + r[3])
total <- nrow(perms3)
fav <- sum(nums < 368)
c(favorables = fav, total = total, prob = fav/total)## favorables total prob
## 113.0000000 336.0000000 0.3363095\[\boxed{P = \frac{113}{336} \approx 0.3363.}\]
Este análisis muestra paso a paso cómo encontrar el conjunto válido, contar las combinaciones y verificar el resultado con R.