\[ B=\Big\{\,x\in\mathbb{N}\ \Big|\ \forall t\in\mathbb{R}:\ \tfrac14 t^2 - t + 7 - x + \sqrt{68-x^2}\ \ge\ 0 \Big\}. \]
Desde \(B\) se seleccionan tres números y, en ese orden, forman un número de tres cifras. Calcular la probabilidad de que el número formado sea menor que \(368\).
Sea \(f(t)=\tfrac14 t^2 - t\). Como \(f\) es una parábola cóncava hacia arriba, su mínimo se alcanza en \[ t=\frac{1}{2\cdot\tfrac14}=2,\qquad f(2)=\tfrac14(2)^2-2=1-2=-1. \] La condición \(\forall t\in\mathbb{R}\) equivale a exigir \[ -1+7-x+\sqrt{68-x^2}\ \ge\ 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt{68-x^2}\ \ge\ x-6. \] El dominio de la raíz impone \(x^2\le 68\), de modo que \(x\in\{1,2,\dots,8\}\). Si \(x\le 6\) entonces \(x-6\le 0\) y la desigualdad se cumple; para \(x=7\) y \(x=8\) también se verifica. Por tanto, \[ B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}. \]
Se forman números de tres cifras \((c,d,u)\) con cifras distintas tomadas de \(B\), por lo que \[ | \Omega | = {}_8 P_3 = 8\cdot 7\cdot 6 = 336. \]
Escribimos el número como \(100c+10d+u\). Se requiere \(100c+10d+u<368\).
La desigualdad se satisface para cualquier par \((d,u)\) con \(d\neq u\) y ambos distintos de \(c\). Para cada \(c\in\{1,2\}\) hay \(7\) opciones para \(d\) y \(6\) para \(u\). Por tanto, \[ N_A=2\cdot 7\cdot 6=84. \]
Se exige \(300+10d+u<368\), es decir \[ 10d+u<68,\qquad d,u\in\{1,2,4,5,6,7,8\},\ d\neq u. \] Contamos por valores de \(d\): \[ \begin{array}{c|c} d & \text{número de } u \text{ válidos}\\ \hline 1 & 6\ (\text{todos salvo }1,3)\\ 2 & 6\\ 4 & 6\\ 5 & 6\\ 6 & 5\ (\text{se excluye }8\ \text{por }10\cdot 6+8=68\ \text{y }u\neq 6)\\ 7 & 0\ (\text{pues }10\cdot 7+u\ge 70)\\ 8 & 0 \end{array} \] Así, \[ N_B=6+6+6+6+5=29. \]
Sumando, \[ N_{\text{fav}}=N_A+N_B=84+29=113,\qquad |\Omega|=336. \] La probabilidad es \[ \boxed{\ \mathbb{P}=\dfrac{113}{336}\approx 0.33631\ }. \]
library(knitr)
centena <- c("1",
"2",
"3 (decena ∈ {1,2,4,5})",
"3 (decena = 6)")
formas <- c(
42,
42,
24,
5
)
tabla <- data.frame(
Centena = centena,
Casos_Favorables = formas
)
kable(tabla, caption = "Distribución de los casos favorables (<368)")| Centena | Casos_Favorables |
|---|---|
| 1 | 42 |
| 2 | 42 |
| 3 (decena ∈ {1,2,4,5}) | 24 |
| 3 (decena = 6) | 5 |
total_favorables <- sum(tabla$Casos_Favorables) # 113
total_posibles <- 8 * 7 * 6 # P(8,3) = 336
probabilidad <- total_favorables / total_posibles
total_favorables## [1] 113## [1] 336## [1] 0.3363095