Enunciado

Sea

\[ B=\left\{x\in \mathbb{N}\; \middle|\; \forall t\in\mathbb{R}:\; \frac14 t^2 - t + 7 - x + \sqrt{68 - x^2}\ \ge 0 \right\}. \]

Se extraen tres números sin reemplazo de \(B\) y, en el orden extraído, se forman números de tres cifras (concatenando las cifras). Calcular la probabilidad de que el número formado sea menor que 368.

```{r setup, include=FALSE} # Configuración general knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE, message = FALSE, warning = FALSE)

1) Conjunto B

Para que la raíz exista debe cumplirse 68−x2≥0⇒∣x∣≤8.24

68 - x^2 |x|−x2≥0⇒∣x∣≤8.24.
Por tanto, x ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8}

B={0,1,2,3,4,5,6,7,8} , ∣B∣=9B = {0,1,2,3,4,5,6,7,8},

|B|=9B={0,1,2,3,4,5,6,7,8}, ∣B∣=9

B \<- 0:8 B length(B)

2) Total de posibilidades

Se forman números de tres cifras con orden y sin reemplazo.

Total=9×8×7=504

total \<- 9*8*7 total

3) Casos favorables (< 368)

(a) Centena = 0, 1, 2

Si la primera cifra es 0, 1 o 2, cualquier combinación de las otras dos sirve.

3×(8×7)=168

fav_012 <- 3*8*7 
fav_012

(b) Centena = 3

Debemos exigir 10t+u<68.

t_vals <- setdiff(B, 3)
conteo <- sapply(t_vals, function(t){
  sum(sapply(setdiff(B, c(3,t)), function(u) 10*t + u < 68))
})
tabla_centena_3 <- data.frame(
  decena = t_vals,
  combinaciones_validas = as.integer(conteo)
)
tabla_centena_3
fav_3 <- sum(conteo)
fav_3

En total para centena=3: 41 casos.

(c) Total analítico

168+41=209

fav_analitico <- fav_012 + fav_3
fav_analitico

(d) Verificación computacional

favorable <- 0L
for(h in B){
  for(t in B){
    if(t==h) next
    for(u in B){
      if(u==h || u==t) next
      num <- 100*h + 10*t + u
      if(num < 368){
        favorable <- favorable + 1L
      }
    }
  }
}
favorable

El conteo directo confirma: 209 casos favorables.

4) Probabilidad

𝑃= 209 / 504 ≈ 0.41468

prob <- favorable / total
c(fraccion = paste0(favorable,"/",total),
  decimal = prob)

Conclusión

El total de casos es 504, los favorables son 209 y la probabilidad solicitada es

𝑃= 209 / 504 ≈ 0.415