Problema: Dado el conjunto:
\[ B = \{ x \in \mathbb{N} : \forall t \in \mathbb{R}, \tfrac{1}{4}t^2 - t + 7 - x + \sqrt{68 - x^2} \geq 0 \} \] Calcular la probabilidad de que, al escoger 3 números de este conjunto con repetición, el número formado sea menor que 368.
Para todo \(t\), la parte cuadrática es:
\[ f(t) = \frac{1}{4}t^2 - t \]
La parábola tiene mínimo en \(t = 2\):
\[ f(2) = 1 - 2 = -1 \]
La desigualdad se convierte en:
\[ -1 + 7 - x + \sqrt{68 - x^2} \geq 0 \Rightarrow \sqrt{68 - x^2} \geq x - 6 \]
Caso 1: Si \(x \leq 6\), siempre se cumple.
Caso 2: Si \(x > 6\), elevamos al cuadrado:
\[ (x - 6)^2 \leq 68 - x^2 \]
\[ x^2 - 12x + 36 \leq 68 - x^2 \]
\[ 2x^2 - 12x - 32 \leq 0 \]
Resolviendo:
\[ x^2 - 6x - 16 \leq 0 \Rightarrow x \in [-2, 8] \]
Juntando con \(x > 6\): \(x \in (6, 8]\).
Entonces:
\(x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\).
| x | √(68-x²) | Δ = x-6-√(68-x²) | Cumple |
|---|---|---|---|
| 0 | 8.2462 | -14.2462 | Sí |
| 1 | 8.1854 | -13.1854 | Sí |
| 2 | 8.0000 | -12.0000 | Sí |
| 3 | 7.6811 | -10.6811 | Sí |
| 4 | 7.2111 | -9.2111 | Sí |
| 5 | 6.5574 | -7.5574 | Sí |
| 6 | 5.6569 | -5.6569 | Sí |
| 7 | 4.3589 | -3.3589 | Sí |
| 8 | 2.0000 | 0.0000 | Sí |
| Total | Menores | Probabilidad |
|---|---|---|
| 729 | 305 | 0.4184 |
El conjunto es: \[B = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\]
El número total de combinaciones posibles es \(9^3 = 729\).
La cantidad de números menores a 368 es 305.
La probabilidad de formar un número menor que 368 es:
\[P = \frac{305}{729} \approx 0.4185\]