Se considera el conjunto
\[ B = \{ x \in \mathbb{N} \; | \; \tfrac{1}{4}t^{2} - t + 7 - x + \sqrt{68 - x^{2}} \geq 0, \; \forall t \in \mathbb{R} \}. \]
De dicho conjunto se extraen tres dígitos diferentes sin reposición. Se quiere calcular la probabilidad de que el número formado sea menor que 368.
La función cuadrática
\[ g(t) = \tfrac{1}{4}t^{2} - t + 7 - x + \sqrt{68 - x^{2}} \]
corresponde a una parábola abierta hacia arriba. Su mínimo se alcanza en
\[ t_{0} = \frac{-b}{2a} = \frac{1}{2 \cdot \tfrac{1}{4}} = 2. \]
Evaluando en este punto:
\[ g(2) = \tfrac{1}{4}(2^{2}) - 2 + 7 - x + \sqrt{68 - x^{2}} = 1 - 2 + 7 - x + \sqrt{68 - x^{2}} = 6 - x + \sqrt{68 - x^{2}}. \]
La condición se simplifica a:
\[ 6 - x + \sqrt{68 - x^{2}} \geq 0. \]
Por tanto:
\[ B = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}. \]
El número total de formas de elegir y ordenar tres dígitos distintos es:
\[ |\Omega| = 9 \cdot 8 \cdot 7 = 504. \]
\[ A_1 = 3 \cdot 8 \cdot 7 = 168. \]
\[ A_2 = 1 \cdot 5 \cdot 7 = 35. \]
\[ A_3 = 1 \cdot 1 \cdot 6 = 6. \]
En total:
\[ A = A_1 + A_2 + A_3 = 168 + 35 + 6 = 209. \]
La probabilidad de que el número formado sea menor que 368 es:
\[ P(A) = \frac{209}{504} \approx 0.415. \]