Punto1

EJERCICIO DE CONJUNTOS

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ENUNCIADO: De un conjunto \[ B = [{x ∈ ℕ | ∀t ∈ ℝ : \frac{1}{4}t² - t + 7 - x + √(68 - x²) ≥ 0}] \] se sacan tres números sin reemplazo.

1. ¿Calcule la probabilidad de que estos formen un número menor que 368?

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PASO 1: DETERMINAR EL CONJUNTO B

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Para que la expresión (1/4)t² - t + 7 - x + √(68 - x²) ≥ 0 sea válida para todo t ∈ ℝ, necesitamos que el discriminante de esta función sea ≥ 0.

Por lo tanto, 68 - x² ≥ 0 Como x ∈ ℕ (números naturales), x ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

  posibles_x <- 0:8
conjunto_B <- c()

for(x in posibles_x) {
  if(sqrt(68 - x^2) >= x - 8) {
    conjunto_B <- c(conjunto_B, x)
  }
}

## [1] "Conjunto B = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8"

## [1] "Tamaño del conjunto B: 9"

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PASO 2: ANÁLISIS DE NÚMEROS DE 3 DÍGITOS

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Al sacar 3 números sin reemplazo, podemos formar números de 3 dígitos Necesitamos contar cuántos números < 368 se pueden formar

n <- length(conjunto_B)
total_permutaciones <- factorial(n) / factorial(n - 3)

## [1] "Tamaño del espacio muestral: 504"

Función para generar todas las permutaciones de 3 elementos

generar_permutaciones <- function(elementos) {
  n <- length(elementos)
  if(n < 3) return(NULL)
  
  permutaciones <- c()
  
  # Generamos todas las permutaciones P(n,3) = n!/(n-3)!
  # Para cada posición: primer dígito, segundo dígito, tercer dígito
  # NOTA: Si el primer dígito es 0, el número tendría solo 2 dígitos efectivos
  for(i in 1:n) {                    # Primer dígito (n opciones)
    for(j in 1:n) {                  # Segundo dígito (n-1 opciones)
      if(j != i) {                   # Sin reemplazo
        for(k in 1:n) {              # Tercer dígito (n-2 opciones)
          if(k != i && k != j) {     # Sin reemplazo
            numero <- elementos[i] * 100 + elementos[j] * 10 + elementos[k]
            permutaciones <- c(permutaciones, numero)
          }
        }
      }
    }
  }
  
  return(sort(permutaciones))
}
todos_numeros <- generar_permutaciones(conjunto_B)

print(paste("Total de números de 3 dígitos que se pueden formar:", length(todos_numeros)))

## [1] "Total de números de 3 dígitos que se pueden formar: 504"

# Contamos cuántos son menores que 368
numeros_menores_368 <- todos_numeros[todos_numeros < 368]

print(paste("Números menores que 368:", length(numeros_menores_368)))

## [1] "Números menores que 368: 209"

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PASO 3: CÁLCULO DE PROBABILIDAD

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## [1] "Casos favorables (números < 368): 209"

## [1] "Casos totales: 504"

## [1] "Probabilidad = 209/504 = 0.414683"

## [1] "Probabilidad como porcentaje: 41.47%"

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RESUMEN FINAL

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## [1] "Conjunto B: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}"

## [1] "Total de números de 3 dígitos posibles: 504"

## [1] "Números menores que 368: 209"

## [1] "Probabilidad: 0.414683"

## [1] "Probabilidad como porcentaje: 41.47%"

## [1] "============================================================"