Tugas Matematika_Kelompok COKAY(Calon Orang Kaya)

Prof.Dr.Chokye Adriantama Sitanggang

Ir.Muhammad Wahyu Ramdani

Ingwie Gaza Farhamna,S.Si

Drs.Filipus Roki,M.Mat

Soal 1

Diketahui titik A(1,2), B(4,-2), dan C(-2,-1).

(a) Tunjukkan bahwa segitiga ABC siku-siku

Menggunakan Gradien (m)

\[ mAB = (yB -yA)/(xB - xA) \] \[ mAB = (-2 -2)/(4 - 1) \] \[ mAB = -4/3 \] \[ mBC = (-1 -(-2))/(-2 -4) \] \[ mBC = -1/6 \] \[ mAC = (-1 -2)/(-2 -1) \] \[ mAC = 1 \] Mengguakan Rumus:

m1.m2 = -1 \[ mAB.mAC = -4/3 .(1 )=1 \] \[ mAB.mBC = -4/3 .(-1/6) =2/9 \] \[ mAC.mBC =1 .(-1/6) = -1/6 \]

Jadi,tidak ada garis yg tegak lurus (tidak ada sudut siku- siku pada segitiga tersebut)

Kita hitung panjang sisi: \[ d(x,y) = √{((x2-x2)^2 + (y2-y1)^2)} \] \[ AB = √{((4 - 1)^2 + (-2 - 2)^2)} \] \[ AB = √{((3)^2 + (-4)^2)} \] \[ AB =√ {(9 + 16)} \] \[ AB = √{25} = 5 \] \[ BC =√{((-2 -4)^2 + (-1 - (-2))^2)} \] \[ BC =√{((-6)^2 + (1)^2)} \] \[ BC =√{(36 + 1)} =sqrt{(37)} \] \[ AC =√{((-2 - 1)^2 + (-2 -1)^2)} \] \[ AC =√{((-3)^2 + (-3)^2)} \] \[ AC =√(9 + 9) = √(18) \]

\[ AB^2 + AC^2 = 25 + 18 = 43 ≠ BC^2 \]

\[ AB^2 + BC^2 = 25 + 37 = 62 ≠ AC^2 \]

\[ AC^2 + BC^2 = 18 + 37 = 55 ≠ AB^2 \] Jadi,segitiga ini bukan segitiga siku-siku.

A <- c(1,2)
B <- c(4,-2)
C <- c(-2,-1)

jarak <- function(p1,p2){
  sqrt((p1[1]-p2[1])^2 + (p1[2]-p2[2])^2)
}

AB <- jarak(A,B)

BC <- jarak(B,C)
AC <- jarak(A,C)

AB; BC; AC

## [1] 5

## [1] 6.082763

## [1] 4.242641

# cek pythagoras
sides2 <- sort(c(AB^2, BC^2, AC^2))
is_right <- abs(sides2[1] + sides2[2] - sides2[3]) < 1e-9
is_right

## [1] FALSE

(b) Luas segitiga ABC

Gunakan rumus determinan: \[ L= (1/2)|xA(yB - yC) + xB(yC - yA) + xC(yA - yB)| \] \[ L=(1/2)|1(-2 -(-1)) + 4(-1 -2) +(-2)(2-(-2)| \] \[ L=(1/2)|-1 - 12 - 8| \] \[ L=(1/2)|-21| =10.5 \]

x1 <- A[1]; y1 <- A[2]
x2 <- B[1]; y2 <- B[2]
x3 <- C[1]; y3 <- C[2]

luas <- abs(x1*(y2-y3) + x2*(y3-y1) + x3*(y1-y2))/2
luas

## [1] 10.5

---

Soal 2

Persamaan: \[ |x-2| + |x+3| = y \] Titik kristis ada 2: \[ x - 2 = 0 \]

\[ x = 2 \]

\[ x - 3 = o \] \[ x = 3 \] 1.Jika x ≤ -3 \[ |x - 2| =2 -x \] \[ |x + 3| = -(x + 3) =x - 3 \] Sehingga \[ f(x)=(2 - x) + (-x - 3) = -2x - 1 \] Untuk x= -3 \[ f(-3) = 5 \] Jadi interval jangkauan: \[ [5,∞) \] 2.Jika -3 ≤ x ≤ 2 \[ |x + 3 |= x + 3 \] \[ |x - 2| = 2 - x \] Sehingga: \[ f(x)=(x-2)+(x+3)=5 \] Jadi interval jangkauan : \[ [-3,2] \] 3.Jika x ≥ 2 \[ |x-2 |=x-2 \] \[ |x+3| = x+3 \] Sehingga: \[ f(x)=(x-2)+(x+3)=2x+1 \]

Untuk x = 2

\[ f(2)=5 \] Jadi interval jangkauan: \[ [5,∞) \]

Kesimpulan:

1.Tidak ada y yang tepat pada satu solusi

2.y<5 ,tidak ada solusi

3.y=5 ,(semua x ∈[-3,2])

4.y>5 ,dua solusi x = -(y + 1)/2 dan x = (y - 2)/2

Soal 3

Lingkarang dengan persamanaan :

Rumus: \[ (x-h)^2 + (y-k)^2 =r^2 \] \[ x^2 + y^2 -4x + 6y - 12 = 0 \] \[ x^2 - 4x + y^2 + 6y = 12 \] \[ (x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) = 12 \] \[ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 12 + 4 + 9 \] \[ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25 \] - Pusat lingkaran :(2, 3)

-Jari-jari :5

# Persamaan lingkaran: x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0

# Koefisien umum lingkaran: x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
D <- -4
E <- 6
F <- -12

# Rumus pusat = (-D/2 , -E/2)
pusat_x <- -D/2
pusat_y <- -E/2
pusat <- c(pusat_x, pusat_y)

# Rumus jari-jari r = sqrt((D/2)^2 + (E/2)^2 - F)
r <- sqrt((D/2)^2 + (E/2)^2 - F)

# Cetak hasil
cat("Pusat lingkaran: (", pusat[1], ",", pusat[2], ")\n")

## Pusat lingkaran: ( 2 , -3 )

cat("Jari-jari lingkaran: ", r, "\n")

## Jari-jari lingkaran:  5