1.De un conjunto

\[ B = \left\{ x \in \mathbb{N} : \forall t \in \mathbb{R}, \; \frac{1}{4}t^{2} - t + 7 - x + \sqrt{68 - x^{2}} \geq 0 \right\} \]

se sacan tres números sin remplazo. Calcule la probabilidad de que estos formen un número menor que 368.

Solución:

1. Encontrar elementos del conjunto B

Al ser una parabola positiva, esta tiene un minimo:

\[ t_{\min} = -\frac{b}{2a} = \frac{-(-1)}{2(\frac{1}{4})}=2 \]

\[ f(t_{\min}) = \frac{1}{4}(2)^2 -(2) - x + \sqrt{68 - x^2} = 1-2+7- x + \sqrt{68 - x^2} =6 - x + \sqrt{68 - x^2} \] Esto reduce la condición a: \[ 6 - x + \sqrt{68 - x^2} \geq 0 \]

Por lo que el conjunto resultante es: \[ B = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8\} \]

2. Espacio muestral

Se sacan 3 números sin repetición. \[ \Omega=9\times8\times7=504 \]

3. Evento A: número menor que 368.

  • Cuando el primer número es diferente de 3 \[ A_1=3\times8\times7=168 \]

  • Cuando el primer número es 3 y el segundo menor que 6 \[ A_2=1\times5\times7=35 \]

  • Cuando el primer número es 3 y el segundo 6, el tercero puede tomar 6 valores. \[ A_3=1\times1\times6=6 \]

El evento A es la suma de todos los sub eventos de A

\[ A=A_1+A_2+A_3=168+35+6=209 \] \[ A=209 \]

4.Probabilidad del evento A.

\[ P(A)= \frac{A}{\Omega}=\frac{209}{504}\approx 0.45 \]