1. Diketahui tiga titik \(A(1,2), B(4,-2), dan C(-2,-1)\). (a) Tunjukan bahwa segitiga ABC adalah segitiga siku-siku.(b) tentukan luas segitiga ABC.

a. tunjukan bahwa ABC adalah segitiga siku-siku dengan rumus \[\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\]

1). menghitung panjang sisi AB

\[ A(1,2), B(4,-2)\] \[ x_1=1\] \[x_2=4\] \[y_1=2\] \[y_2=-2\]

Masukkan nilai kedalam rumus di atas.

\[d(AB)=\sqrt{(4-1)^2+(-2-2)^2}\] \[d(AB)=\sqrt{9+16}\] \[d(AB)=\sqrt{25}\] \[d(AB)=5\]

2). Menghitung panjang sisi AC

\[A(1,2),C(-2,-1)\] \[x_1=1\] \[x_2=-2\] \[y_1=2\] \[y_2=-1\]

Masukan nilai kedalam rumus diatas

\[d(AC)=\sqrt{(-2-1)^2+(-1-2)^2}\] \[d(AC)=\sqrt{-3^2+(-3)^2}\] \[d(AC)=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\]

3).Menghitung panjang sisi BC

\[B(4,-2),C(-2,-1)\] \[x_1=4\] \[x_2=-2\] \[y_1=-2\] \[y_2=-1\]

Masukan nilai kedalam rumus di atas

\[d(BC)=\sqrt{(-2-4)^2+(-1-2)^2}\] \[d(BC)=\sqrt{-6^2+1^2}\] \[d(BC)=\sqrt{37}\] Jika siku-siku harus berlaku Teorema Pythagoras untuk suatu pasangan, misalkan \(AB^2+BC^2=BC^2\) atau (permutasinya).

\[AB^2+AC^2=25+18+43 \neq37=BC^2\] \[AB^2+BC^2=25+37=62\neq18=AC^2\] \[AC^2+BC^2=18+37=55\neq25=AB^2\] Jadi, tidak ada yang cocok untuk segitiga ABC bukan segitiga siku-siku

a. Luas segitiga ABC

Rumus yang mudah dipahami dan sering dipakai: \[L=\frac{1}{2} |x_a (y_b -y_c)+ x_b (y_c -y_a)+ x_c (y_a -y_b)|\] Subsitusikan titik \(A=(1,2), B=(4,-2), C=(-2,-1)\) \[L=\frac{1}{2} |1((-2)-(-1))+4((-1)-2)+(-2)(2-(-2))|\] \[L=\frac{1}{2}|1(-1)+4(-3)+(-2)(4)|\] \[L=\frac{1}{2}|(-1)-12-8|\] \[L=\frac{1}{2}.21\] \[L=10,5\] Jadi, luas segitiga adalah 10,5 satuan luas

2. Tentukan semua nilai real y jika memiliki persamaan \(|x-2|+|x+3|= y\), dimana y jika memiliki tepat satu solusi dan y tidak memiliki solusi.

Batas baris \(x=-3 dan x=2\)

kita bagi 3 interval: \[a. x\leq -3\] \[|x-2|=-(x-2)=-x+2\] \[|x-2|=-(x+3)=-x+2\] \[y=(-x+2)+(-x-3)=-2x-1\] \[b. -3\leq x\leq2\] \[|x-2|=(x-2)=-x+2|x+3|=x+3\] \[y=(x-2)+(x+3)=5\] \[c. x\geq2\] \[|x-2|=x-2|x+3|=x+3\] \[y=(x-2)+(x+2)=2x+1\] Langkah 2: Bentuk grafik fungsi

Untuk \(x\leq-3\), grafik garis turun \(y=-2x-1\)

pada \(x=-3, y=5\) jadi range \(=y\geq5\)

Langkah 3: Jumlah solusi untuk setiap y

Jika \(y<5\) :tidak ada solusi (karena range hanya \(y\geq5\)) Jika \(y=5\) Dari kasus \(x\leq-3\) persamaan \[-2x-4=5\] \[x=-3 \] (valid) Dari kasus \(-3\leq x\leq2\) semua x diinterval ini hasilnya 5 tak terhingga banyak solusi

Dari kasus \[x\leq2, 2x+1=5\] \[x=2 \] (valid) Jadi total solusi = tak hingga banyak

Jika \(y>5\) Dari kasus kiri \((x\leq-3)\) \[-2x-1=y\] \[x=\frac{-(y+1)}{2}\leq-3\] (Bisa ada 1 solusi) Dari kasus tengah nggak mungkin (hasilnya cuma 5)

Dari kasus kanan \((x\geq2)\) \[2x+1=y\] \[x=\frac{(y-1)}{2}\leq-2 \] (bisa ada 1 solusi)

Jadi, total solusi ada 2

Kesimpulan:

y tidak punya solusi

\(y<5\)

y tepat satu solusi

tidak ada nilai y yang bikin tepat satu solusi. Jadi, tidak ada y yang menghasilkan tepat satu solusi dan \(y<5\) tidak punya solusi

3. Lingkaran dengan persamaan \(x^2+y^2-4x+6y-12=0\). Tentukan pusat dan jari-jarinya.

Diketahui persamaan lingkaran: \[x^2+y^2-4x+6y-12=0\] 1. Kelompokan suku sejenis

\[(x^2-4x)+(y^2+6y)=12\] 2. Lengkapi kuadrat sempurna

\[P_x=\frac{x}{2} atau \frac{A}{2}\] \[P_y=\frac{y}{2} atau \frac{B}{2}\]

untuk \[x^2-4x=\frac{-4}{2}=-2\] lalu kita kuadratkan \[(-2)^2=4\] Untuk \[y^2+6y\] \[\frac{6}{2}=3\] Lalu luadratkan \[3^2=9\]

Selanjutnya tambahkan 4 dan 9 disisi kiri, juga ditambahkan disisi kanan \[(x^2-4x+4)+(y^2+6y+9)=12+4+9\] 3. Bentuk kuadrat sempurna

\[(x-2)^2+(y+3)^2=25\]

  1. Tentukan pusat dari jari-jari

pusat lingkaran \((h,k)=(2,3)\)

Jari-jari \(r=\sqrt{25}=5\)