ACTIVIDAD 6

EJERCICIO PARCIAL

De un conjunto \(B = \{x \in \mathbb{N} : \forall t \in \mathbb{R}, \frac{1}{4}t^2 - t + 7 - x + \sqrt{68 - x^2} \geq 0\}\)

se sacan tres números sin reemplazo. Calcule la probabilidad de que estos formen un númeromenor que 368.

Elementos de B

## Análisis algebraico:

## - Dominio: |x| ≤ √68 ≈ 8.25

## - Para x ≤ 6: condición automáticamente cumplida

## - Para x > 6: resolver (x-6)² ≤ 68-x² → x² - 6x - 16 ≤ 0 → -2 ≤ x ≤ 8

## - Intersección con ℕ y x > 6: {7, 8}

## Conjunto B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

## Número de elementos: |B| = 8

Formar los números de 3 cifras

## Total de números de tres cifras formados: 336

## Fórmula: n(n-1)(n-2) = 8 × 7 × 6 = 336

## Primeros 10 números formados: 123, 124, 125, 126, 127, 128, 132, 134, 135, 136 ...

## Últimos 10 números formados: 863, 864, 865, 867, 871, 872, 873, 874, 875, 876

# Identificar números menores que 368
numeros_menores_368 <- numeros_formados[numeros_formados < 368]
total_favorables <- length(numeros_menores_368)

cat("Números menores que 368:", total_favorables, "\n")

## Números menores que 368: 113

cat("Números mayores o iguales que 368:", length(numeros_formados) - total_favorables, "\n\n")

## Números mayores o iguales que 368: 223

# Mostrar algunos ejemplos
cat("Ejemplos de números < 368:\n")

## Ejemplos de números < 368:

ejemplos_menores <- head(sort(numeros_menores_368), 15)
cat(paste(ejemplos_menores, collapse = ", "), "...\n\n")

## 123, 124, 125, 126, 127, 128, 132, 134, 135, 136, 137, 138, 142, 143, 145 ...

cat("Ejemplos de números ≥ 368:\n")

## Ejemplos de números ≥ 368:

numeros_mayores_368 <- numeros_formados[numeros_formados >= 368]
ejemplos_mayores <- head(sort(numeros_mayores_368), 15)
cat(paste(ejemplos_mayores, collapse = ", "), "...\n")

## 368, 371, 372, 374, 375, 376, 378, 381, 382, 384, 385, 386, 387, 412, 413 ...

Revsion primer digito= 3

## REVISIÓN DETALLADA: PRIMER DÍGITO = 3

## ====================================

## Números que empiezan con 3:

## 312, 314, 315, 316, 317, 318, 321, 324, 325, 326, 327, 328, 341, 342, 345, 346, 347, 348, 351, 352, 354, 356, 357, 358, 361, 362, 364, 365, 367, 368, 371, 372, 374, 375, 376, 378, 381, 382, 384, 385, 386, 387

## ANÁLISIS DEL NÚMERO 368:

## - ¿Puede formarse 368 con elementos de B?

## - Primera cifra: 3 ∈ B ✓

## - Segunda cifra: 6 ∈ B ✓

## - Tercera cifra: 8 ∈ B ✓

## - ¿Son todos diferentes? 3 ≠ 6 ≠ 8 ✓

## - ¿Está 368 en los números generados? ✓ SÍ

## 
## CASOS CRÍTICOS CERCA DE 368:

## -  361  < 368 ✓ (favorable)
## -  362  < 368 ✓ (favorable)
## -  364  < 368 ✓ (favorable)
## -  365  < 368 ✓ (favorable)
## -  367  < 368 ✓ (favorable)
## -  368  = 368 ✗ (NO favorable)
## -  371  > 368 ✗ (NO favorable)
## -  372  > 368 ✗ (NO favorable)
## -  374  > 368 ✗ (NO favorable)
## -  375  > 368 ✗ (NO favorable)
## -  376  > 368 ✗ (NO favorable)
## -  378  > 368 ✗ (NO favorable)
## -  381  > 368 ✗ (NO favorable)
## -  382  > 368 ✗ (NO favorable)
## -  384  > 368 ✗ (NO favorable)
## -  385  > 368 ✗ (NO favorable)
## -  386  > 368 ✗ (NO favorable)
## -  387  > 368 ✗ (NO favorable)

## 
## RESUMEN PARA PRIMER DÍGITO = 3:

## - Total números con primera cifra 3: 42

## - Números < 368: 29

## - Números = 368: 1

## - Números > 368: 12

## VERIFICACION:

## 29 + 1 + 12 = 42

## Total numeros con cifra 3: 42

## Resultado: CORRECTO

Probabilidad Pedida

## CÁLCULO DE LA PROBABILIDAD:

## ===========================

## Espacio muestral (Ω): 336 números posibles

## Casos favorables (A): 113 números < 368

## P(número < 368) = Casos favorables / Total de casos

## P(número < 368) =  113 / 336

## P(número < 368) =  113 / 336

##  =  0.33631

## P(número < 368) ≈  33.63 %

## RESPUESTA FINAL:

## ===============

## La probabilidad de que tres números extraídos sin reemplazo

## del conjunto B formen un número menor que 368 es:

## P =  113 / 336  =  0.33631