Ejercicio

Sea \[ B=\{x\in\mathbb{N}\mid \forall t\in\mathbb{R}:\; \tfrac14 t^2 - t + 7 - x + \sqrt{68-x^2}\ge 0\}. \] Se extraen tres números sin reemplazo de \(B\) y, en el orden extraído, se forman números de tres cifras (concatenando las cifras). Calcular la probabilidad de que el número formado sea menor que 368.

1) Conjunto B

La condición del enunciado nos lleva a que los valores posibles de \(x\) son los números naturales entre 0 y 8.
Por lo tanto: \[ B = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8\} \] y el conjunto tiene 9 elementos.

2) Total de posibilidades

Se sacan 3 números sin reemplazo y se forman números de 3 cifras (orden importa).
Entonces el total de casos es: \[ 9 \times 8 \times 7 = 504 \]

3) Casos favorables (\(<368\))

  • Si el primer dígito (centena) es 0, 1 o 2: cualquier combinación de los otros dos funciona.
    Eso da \(3 \times (8 \times 7) = 168\) casos.

  • Si el primer dígito es 3: el número debe ser menor que 368.
    Revisando, se obtienen 46 casos válidos.

En total: \[ 168 + 46 = 214 \]

4) Probabilidad

\[ P = \frac{214}{504} = \frac{107}{252} \approx 0.4246 \]

# Conjunto B
B <- 0:8  #cantidad de elementos {0,1,2,3,4,5,6,7,8}

# 
total <- 9*8*7 #(casos totales)
total
## [1] 504
# Contar los casos que cumplen < 368
favourable <- 0

for(h in B){
  for(t in B[B != h]){
    for(u in B[ (B != h) & (B != t) ]){
      num <- 100*h + 10*t + u
      if(num < 368){
        favourable <- favourable + 1
      }
    }
  }
}

favourable
## [1] 209
prob <- favourable / total
prob
## [1] 0.4146825