El conjunto está definido como: \[ B = \left\{ x \in \mathbb{N} \mid \forall t \in \mathbb{R} : \frac{1}{4}t^2 - t + 7 - x + \sqrt{6x - x^2} \geq 0 \right\} \]
Asumiendo que “δ” es un error tipográfico y debería ser “x”, analizamos la expresión para todo \(t \in \mathbb{R}\). La función cuadrática en \(t\): \[ f(t) = \frac{1}{4}t^2 - t + (7 - x + \sqrt{6x - x^2}) \] debe ser no negativa para todo \(t\). Como el coeficiente principal (\(\frac{1}{4}\)) es positivo, requerimos que el discriminante sea menor o igual a cero: \[ \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot (7 - x + \sqrt{6x - x^2}) = 1 - (7 - x + \sqrt{6x - x^2}) \leq 0 \] Simplificando: \[ x - 6 \leq \sqrt{6x - x^2} \] Dado que \(\sqrt{6x - x^2} \geq 0\) y está definida para \(0 \leq x \leq 6\), y \(x \in \mathbb{N}\), verificamos que para \(x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\) la desigualdad se cumple. Por lo tanto: \[ B = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} \]
Se extraen tres números sin reemplazo de \(B\). El orden de extracción define el número formado (primera extracción: centenas, segunda: decenas, tercera: unidades). El número total de extracciones ordenadas es: \[ 7 \times 6 \times 5 = 210 \]
Queremos la probabilidad de que el número formado sea menor que 368. Analizamos por casos según el dígito de las centenas (\(a\)):
Total de casos favorables: \[ 30 + 30 + 30 + 30 = 120 \]
\[ P = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Total de casos}} = \frac{120}{210} = \frac{4}{7} \]
\[ \boxed{\dfrac{4}{7}} \]