Discussion1_VectorsAndMatrices

1. Matrix Addition/Subtraction

\[ A = \begin{bmatrix} -7 & 1 & 5 & 2 \\ -9 & 2 & 0 & 4 \\ 3 & -1 & 6 & 0 \end{bmatrix} \quad B = \begin{bmatrix} 6 & -4 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & 7 & -2 \\ 2 & 3 & -1 & 5 \end{bmatrix} \]

\[ \text{Addition:} \\ A + B = \begin{bmatrix} -7+6 & 1+(-4) & 5+3 & 2+1 \\ -9+0 & 2+5 & 0+7 & 4+(-2) \\ 3+2 & -1+3 & 6+(-1) & 0+5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -3 & 8 & 3 \\ -9 & 7 & 7 & 2 \\ 5 & 2 & 5 & 5 \end{bmatrix} \]

\[ \text{Subtraction:} \\ A - B = \begin{bmatrix} -7-6 & 1-(-4) & 5-3 & 2-1 \\ -9-0 & 2-5 & 0-7 & 4-(-2) \\ 3-2 & -1-3 & 6-(-1) & 0-5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -13 & 5 & 2 & 1 \\ -9 & -3 & -7 & 6 \\ 1 & -4 & 7 & -5 \end{bmatrix} \]

2. Matrix Multiplication

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 7 & 7 \\ -6 & -3 & 0 & 1 \end{bmatrix} \quad B = \begin{bmatrix} -3 & -4 & 5 \\ -2 & 3 & 1 \\ 6 & 8 & 5 \\ 3 & -2 & -9 \end{bmatrix} \]

\[ AB = C \\ C = \begin{bmatrix} (2)(-3)+(4)(-2)+(7)(6)+(7)(3) & (2)(-4)+(4)(3)+(7)(8)+(7)(-2) & (2)(5)+(4)(1)+(7)(5)+(7)(-9) \\ (-6)(-3)+(-3)(-2)+(0)(6)+(1)(3) & (-6)(-4)+(-3)(3)+(0)(8)+(1)(-2) & (-6)(5)+(-3)(1)+(0)(5)+(1)(-9) \end{bmatrix} = \\ C = \begin{bmatrix} -6+-8+42+21 & -8+12+56+-14 & 10+4+35+-63 \\ 18+6+0+3 & 24+-9+0+-2 & -30+-3+0+-9 \end{bmatrix} \\ C = \begin{bmatrix} 49 & 46 & -14 \\ 27 & 13 & -42 \end{bmatrix} \] 3. Matrix Inversion

\[ A = \begin{bmatrix} -9 & 1 \\ 8 & -2 \end{bmatrix} \]

\[ \text{Matrix Inversion:} \\ \text{2x2 matrix} \\ \text{Is the determinant equal to 0?} \\ det A = ad - bc = (-9)(-2) - (1)(8) = 18 - 8 = 10 \\ det A \neq 0 \\ \]

\[ A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} = \frac{1}{(-9)(-2) - (1)(8)} \begin{bmatrix} -2 & -1 \\ -8 & -9 \end{bmatrix} = \frac{1}{18-8} \begin{bmatrix} -2 & -1 \\ -8 & -9 \end{bmatrix} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} -2 & -1 \\ -8 & -9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2/10 & -1/10 \\ -8/10 & -9/10 \end{bmatrix} \]

\[ \text{Matrix Inversion:} \\ \text{3x3 matrix} \\ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 2 & 3 & 1\\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \\ A I = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ R_2 \rightarrow R_2 - 2 R_1 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ R_3 \rightarrow R_3 - R_1 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ R_3 \rightarrow R_3 - R_2 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \\ R_2 \rightarrow -1R_2 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \\ R_3 \rightarrow \frac{1}{2} R_3 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \\ R_2 \rightarrow R_2 - R_3 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \\ R_1 \rightarrow R_1 - R_3 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \\ R_1 \rightarrow R_1 - 2 R_2 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \\ \]

4. System of Equations

\[ \text{System of Equations:} \\ x + y + z = 6 \\ 2x + 3y + z = 10 \\ x - y + 2z = 3 \\ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & 3 & 1 & 10 \\ 1 & -1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \\ \]

\[ R_2 \rightarrow R_2 - 2 R_1 \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \\ R_3 \rightarrow R_3 - R_1 \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & -2 & 1 & -3 \end{bmatrix} \\ R_3 \rightarrow R_3 + 2 R_2 \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -1 & -7 \end{bmatrix} \\ R_3 \rightarrow -1 * R_3 \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \end{bmatrix} \\ R_2 \rightarrow R_2 + R_3 \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \end{bmatrix} \\ R_1 \rightarrow R_1 - R_3 \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \end{bmatrix} \\ R_1 \rightarrow R_1 - R_2 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -6 \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \end{bmatrix} \\ x_3 = 7 \\ x_2 = 5 \\ x_1 = -6 \\ x = \begin{bmatrix} -6 \\ 5 \\ 7 \end{bmatrix} \]

\[ x + y + z = -6 + 5 + 7 = 6 \\ 2x + 3y + z = 2(-6) + 3(5) + 7 = 10 \\ x - y + 2z = -6 - 5 + 2(7) = 3 \]