Primer parcial - Ejercicio 1

De un conjunto \[ B = \{ x \in \mathbb{N} : \forall t \in \mathbb{R}, \; \frac{1}{4}t^{2} - t + 7 - x + \sqrt{68 - x^{2}} \geq 0 \} \]

se sacan tres números sin reemplazo. Calcule la probabilidad de que estos formen un númeromenor que 368.

Paso 1: Encontrar los elementos de B

La condición que define a \(B\) se puede simplificar.
La parte complicada es:

\[ \tfrac{1}{4}t^{2} - t + 7 \]

Esta expresión es una parábola y su valor más pequeño es 6.
Por eso, la condición se reduce a:

\[ 6 - x + \sqrt{68 - x^{2}} \geq 0 \]

Esto nos da los valores de \(x\) que pueden estar en \(B\).

## [1] 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Paso 2: Formar los números de 3 cifras

Ahora, del conjunto \(B\) vamos a sacar 3 números distintos sin reemplazo.
Con esos números podemos formar números de 3 cifras (porque el orden importa). El total de numeros posibles es:

## [1] 504

Paso 3: Casos favorables

Cada fila perms[i, ] es un vector [a,b,c] que representa el número 100a+10b+c. Contamos cuántos de esos números son < 368.

nums <- perms[,1]*100 + perms[,2]*10 + perms[,3]

fav_idx <- nums < 368
favorables <- sum(fav_idx)

favorables
## [1] 209

Paso 4: Conteo según la primera cifra

##  0  1  2  3  4  5  6  7  8 
## 56 56 56 41  0  0  0  0  0

Interpretación:

Paso 5: Revisión del caso primer dígito = 3

Esto ayuda a comprobar que los 41 casos son correctos:

## Total con primera=3: 56
## Favorables con primera=3 (<368): 41
## 0 1 2 4 5 6 7 8 
## 7 7 7 7 7 6 0 0

Paso 6: Probabilidad final

prob <- favorables / total

# Simplificar fracción
gcd <- function(a, b) if (b == 0) a else gcd(b, a %% b)
g <- gcd(favorables, total)

num_sim <- favorables / g
den_sim <- total / g

list(
  Favorables = favorables,
  Total = total,
  Probabilidad_decimal = prob,
  Fraccion_irreducible = paste0(num_sim, "/", den_sim)
)
## $Favorables
## [1] 209
## 
## $Total
## [1] 504
## 
## $Probabilidad_decimal
## [1] 0.4146825
## 
## $Fraccion_irreducible
## [1] "209/504"

Paso 7: Conclusión

En total había 504 números posibles. Al revisar cuáles cumplen con ser menores que 368, encontramos que 209 sí lo cumplen. Eso quiere decir que, si escogemos al azar, la probabilidad es de 209 sobre 504, que equivale aproximadamente a un 41%.