Resolución ejercicio 1 del parcial

el primer punto del parcial del primer corte decía lo siguiente:

dado el siguiente conjunto: \[ B = \{ x \in \mathbb{N} : \forall t \in \mathbb{R}, \; \tfrac{1}{4}t^2 - t + 7 - x + \sqrt{68 - x^2} \geq 0 \} \]

lo cual se lee como:
“el conjunto B que contiene a los x naturales tales que para todo t en los reales, se cumple que 1/4 de t cuadrada menos t más siete menos x más la raíz cuadrada de 68 menos x cuadrada es mayor o igual que cero.”

Nos piden que con una muestra de tres numeros de ese conjunto, calcular la probabilidad de que el numero resultante sea mayor que 368

Pasos para empezar a resolver

La parábola \(f(t) = \tfrac{1}{4}t^2 - t + c\) abre hacia arriba porque el coeficiente de \(t^2\) es \(\tfrac{1}{4} > 0\).
Para que sea siempre \(\geq 0\), su discriminante debe ser menor o igual a cero:

\[ \Delta = b^2 - 4ac \leq 0 \]

Aquí \(a = \tfrac{1}{4}\), \(b = -1\), \(c = 7 - x + \sqrt{68 - x^2}\).

1. Calcular el discriminante

\[ \Delta=b^2-4ac =(-1)^2-4\Big(\tfrac{1}{4}\Big)C(x) =1-C(x). \]

Sustituyendo \(C(x)\): \[ \Delta=1-\big(7-x+\sqrt{68-x^2}\big) = x-6-\sqrt{68-x^2}. \]

Como \(a=\tfrac14>0\), para que \(f(t)\ge 0\) \(t\in\mathbb{R}\) es importante que \[ \Delta \le 0. \] Entonces buscamos cumplir que \[ x-6-\sqrt{68-x^2}\le 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x-6 \le \sqrt{68-x^2}. \tag{1} \]

Pero antes de operar debemos calcular el dominio de la raíz: \[ 68-x^2 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad -\sqrt{68}\le x\le \sqrt{68}. \] como solo estamos tomando los naturales desde el cero entonces los numeros que sirven son: \(x\) desde \(0,1,\dots,8\).

Ahora hay que tener en cuenta estos dos posibles casos:

1. \(x\le 6\). \ Entonces \(x-6\le 0\) y el miembro derecho \(\sqrt{68-x^2}\ge0\), por lo que acá se cumple automáticamente.

2. \(x\ge 6\). \ Ambos lados son positivos, así que podemos elevar al cuadrado sin problema: \[ (x-6)^2 \le 68 - x^2. \] Lo cual queda así: \[ x^2 - 12x + 36 \le 68 - x^2 \quad\Longrightarrow\quad 2x^2 - 12x - 32 \le 0. \] Dividiendo por \(2\): \[ x^2 - 6x - 16 \le 0. \] Resolvemos la ecuación cuadrática asociada: \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2} = \frac{6 \pm 10}{2} \quad\Rightarrow\quad x=-2,\; x=8. \] Por tanto la desigualdad se cumple para \[ -2 \le x \le 8. \] ## 2. Se calcula el conjunto B Intersectando con la hipótesis del caso \(x\ge 6\) queda \[ 6 \le x \le 8. \]

Combinando ambos casos, teniendo en cuenta unicamente a los naturales desde el cero en adelante obtenemos este conjunto: \[ x \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}. \]

Es decir, lo numeros del 0 al 8 son los que forman el conjunto B.

2. Calcular la probabilidad

ahora, de ese conjunto, hay que ver cual es la probabilidad de que al elegir 3 numeros de manera aleatoria estos formen un numero menor a 368
teniendo en cuenta que dentro de los numeros posibles puede salir el 0 al inicio, sabemos que saldrán numeros de dos cifras que obviamente serán
menores que 368

Paso 1 — obtener el conjunto omega (todos los posibles resultados)

Como el orden importa, tenemos que hacer una permutación sin reemplazo, lo cual da como resultado: \[ |\Omega| = P(9,3) = 9\cdot 8 \cdot 7 = 504. \] esto en R se ve así

if(!requireNamespace("gtools", quietly = TRUE)) install.packages("gtools")
library(gtools)

B <- 0:8

perms <- permutations(n = length(B), r = 3, v = B)
total <- nrow(perms)  
total
## [1] 504

Cada fila de perms es un vector [a,b,c] que corresponde al número 100a + 10b + c. Contamos cuántos de esos números son < 368.

nums <- perms[,1]*100 + perms[,2]*10 + perms[,3]

fav_idx <- nums < 368
favorables <- sum(fav_idx)

# El resultado parcial es este
favorables
## [1] 209

Paso 2 — Separación por casos (primer dígito)

A continuación separamos por el valor del primer dígito (la centena):

Primer dígito = 0 → números de dos cifras

Primer dígito = 1, 2, 3, … → números de tres cifras.

Mostramos el desglose por primera cifra y comprobamos la lógica combinatoria

counts_by_first <- sapply(0:8, function(d) sum(perms[,1]==d & fav_idx))
names(counts_by_first) <- 0:8
counts_by_first
##  0  1  2  3  4  5  6  7  8 
## 56 56 56 41  0  0  0  0  0

se hace el conteo de las permutaciones

# Filas con primera cifra = 3
rows_first3 <- which(perms[,1]==3)
perms_first3 <- perms[rows_first3, , drop = FALSE]
nums_first3 <- perms_first3[,1]*100 + perms_first3[,2]*10 + perms_first3[,3]

# Conteo total con primer dígito 3 y cuántos de ellos son < 368
tot_first3 <- nrow(perms_first3)
fav_first3 <- sum(nums_first3 < 368)

cat("Total con primera=3:", tot_first3, "\n")
## Total con primera=3: 56
cat("Favorables con primera=3 (<368):", fav_first3, "\n\n")
## Favorables con primera=3 (<368): 41
# Desglose por valor de la segunda cifra (decena)
decena_vals <- sort(unique(perms_first3[,2]))
counts_by_decena <- sapply(decena_vals, function(a) sum(perms_first3[,2]==a & nums_first3 < 368))
names(counts_by_decena) <- decena_vals
counts_by_decena
## 0 1 2 4 5 6 7 8 
## 7 7 7 7 7 6 0 0

Interpretación:

Para a (decena) con a ≤ 5 (y distintos de 3) hay 7 opciones para la unidad → 35 casos.

Para a = 6 quedan fewer unidades válidas → 6 casos.

Total = 35 + 6 = 41. El código anterior muestra exactamente ese desglose.

Paso 3 — Comprobación y probabilidad final

Sumamos los favorables y calculamos la probabilidad final. También simplificamos la fracción.

# Favorables totales (comprobación)
favorables  # ya calculado arriba
## [1] 209
# Total del espacio muestral
total  # 504
## [1] 504
# Probabilidad
prob <- favorables / total

# Simplificar fracción (MCD)
gcd <- function(a, b) if (b == 0) a else gcd(b, a %% b)
g <- gcd(favorables, total)
num_sim <- favorables / g
den_sim <- total / g

list(
  Favorables = favorables,
  Total = total,
  Probabilidad_decimal = prob,
  Fraccion_irreducible = paste0(num_sim, "/", den_sim)
)
## $Favorables
## [1] 209
## 
## $Total
## [1] 504
## 
## $Probabilidad_decimal
## [1] 0.4146825
## 
## $Fraccion_irreducible
## [1] "209/504"

Entonces esto nos da un 41% de probabilidad de que salga un numero menor a 368.