Kelompok 3

1. Menunjukkan segitiga siku-siku dari titik \(A(1,2)\), \(B(4,-2)\), \(C(-2,-1)\) dan menentukan luas segitiga ABC

Langkah-langkah:

Menghitung jarak antar dua titik dari titik AB, BC, dan AC

1. Jarak AB \[d(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\] \[d(A,B)=\sqrt{(4-1)^2+(-2-2)^2}\] \[d(A,B)=\sqrt{25}=5\]

2. Jarak AC \[d(A,C)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\] \[d(A,C)=\sqrt{(-2-1)^2+(-1-2)^2}\] \[d(A,C)=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\]

3. Jarak BC

\[d(B,C)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\] \[d(B,C)=\sqrt{(-2-4)^2+(-1-(-2))^2}\] \[d(B,C)=\sqrt{37}\]

Segitiga siku-siku bisa dibuktikan dengan menggunakan teorema pythagoras: Jika berlaku \(AB^2 + AC^2 = BC^2\) maka sudut di A adalah siku-siku (begitu juga di titik lain)

\(AB = 5\), \(AC = 3\sqrt{2}\), \(BC = \sqrt{37}\)

\[AB^2 + AC^2 = BC^2\] \[25+18=37\] \[43\neq37\]

kita cocokkan dengan output dari R

# Koordinat titik 
A <- c(1,2) 
B <- c(4,-2) 
C <- c(-2,-1)

# Fungsi jarak kuadrat

jarak2 <- function(P, Q) { sum((P - Q)^2) 
  }

AB2 <- jarak2(A,B) 
AC2 <- jarak2(A,C) 
BC2 <- jarak2(B,C)

AB2; AC2; BC2

## [1] 25

## [1] 18

## [1] 37

# Cek apakah segitiga siku-siku

AB2 + AC2; BC2 

## [1] 43

## [1] 37

AC2 + BC2; AB2 

## [1] 55

## [1] 25

AB2 + BC2; AC2

## [1] 62

## [1] 18

Karena hasil dari \(AB^2 + AC^2 = BC^2\) tidak sama, maka titik \(A(1,2)\), \(B(4,-2)\), \(C(-2,-1)\) bukan merupakan segitiga siku-siku

Menentukan luas segitiga ABC dengan rumus determinan (shoelace) untuk titik \(A(1,2)\), \(B(4,-2)\), \(C(-2,-1)\)

\[L=\frac{1}{2}{|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|}\] \[x_2(y_3-y_1)=1((-2)-(-1))=1(-1)=-1\] \[x_2(y_3-y_1)=4((-1)-2)=4(-3)=-12\] \[x_3(y_1-y_2)=-2(2-(-2))=-2(4)=-8\] Jumlahkan: \[|(-1)+(-12)+(-8)|=|-21|\] \[L=\frac{1}{2}{|-21|}=\frac{21}{2}= 10.5\] Sehingga titik \(A(1,2)\), \(B(4,-2)\), \(C(-2,-1)\) bukan merupakan segitiga siku-siku dan luas segitiga ABC adalah \(10.5\)

2. Tentukan semua nilai real y jika memiliki persamaan \(|x-2|+|x+3|=y\), dimana y memiliki tepat satu solusi dan y tidak memiliki solusi

Langkah-langkah:

bentuk persamaan di tiap interval:

1. Jika \(x < -3\) maka:

\(|x-2|=2-x\) dan \(|x+3|=-x-3\)

Jadi: \[|x-2|+|x+3|=-2x-1\] Lalu nilai y menjadi \[y>5\]

2. Jika \(-3\leq x<2\) maka:

\(|x-2|=2-x\) dan \(|x+3|=x+3\)

Jadi: \[|x-2|+|x+3|= 5\] Lalu nilai y menjadi \[y=5\]

3. Jika \(x\geq2\) maka:

\(|x-2|=x-2\) dan \(|x+3|=x+3\)

Jadi: \[|x-2|+|x+3|=2x+1\]

Lalu nilai y menjadi \[y\geq5\]

Cari nilai y yang membuat persamaan memiliki tepat satu solusi

• Pada interval \(x<3\), persamaannya jadi y = \(-2x-1\), dengan solusi \(x =\frac{-y-1}{2} <-3\), sehingga menjadi \(y>5\)

• Pada interval \(-3\leq x<2\), persamaannya jadi \(y = 5\)

• Pada interval \(x\geq2\), persamaannya jadi y = \(2x+1\), dengan solusi \(x =\frac{y-1}{2}\geq2\), sehingga menjadi \(y\geq5\)

Kesimpulan nilai y:

1. \(y>5\), memiliki dua solusi yang terjadi di interval \(x<-3\) dan \(x\geq2\)

2. \(y=5\), memiliki solusi di interval \(-3\leq x<2\) yang membuat solusi menjadi tak terhingga(bukan tepat satu solusi)

3. persamaan yang tidak memiliki solusi yaitu untuk y < 5.

Kemudian dapat disimpulkan persamaan \(|x-2|+|x+3|=y\), tidak ada nilai y yang memiliki tepat satu solusi dan nilai y yang tidak memiliki solusi adalah \(y<5\)

3. Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan \(x^2+y^2-4x+6y-12=0\)

Langkah-langkah:

Kelompokkan variabel x dan y

\[x^2+y^2-4x+6y-12=0\] \[(x^2-4x)+(y^2+6y)-12=0\]

Sempurnakan kuadrat

maka persamaan nya menjadi:

\[(x-2)^2+(y+3)^2-4-9-12=0\] \[(x-2)^2+(y+3)^2=25\]

kemudian tentukan pusat dan jari-jari nya sesuai rumus \[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2\]

maka: \[(x-2)^2+(y+3)^2=25\] berada di pusat \[(h,k)\] yaitu: \[(2,-3)\] dengan jari-jari: \[r^2=25\] \[r=5\]

Sehingga pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan \(x^2+y^2-4x+6y-12=0\) adalah \((2,-3)\) dan jari-jarinya = \(5\)