Jawaban Soal No 5

---

Langkah 1: Fungsi densitas

Untuk setiap \(X_i\), fungsi densitasnya adalah: \[ f_{X_i}(x|\theta) = \begin{cases} e^{i\theta - x}, & x \geq i\theta \\ 0, & x < i\theta \end{cases} \] Ini dapat ditulis ulang sebagai: \[ f_{X_i}(x|\theta) = e^{i\theta} e^{-x} \cdot \mathbb{I}_{[i\theta, \infty)}(x), \] dengan \(\mathbb{I}_{[i\theta, \infty)}(x)\) adalah fungsi indikator yang bernilai 1 jika \(x \geq i\theta\) dan 0 lainnya.

---

Langkah 2: Fungsi densitas bersama \(X_1, ..., X_n\)

Karena variabel-variabel tersebut independen (tidak dinyatakan secara eksplisit, tetapi biasanya diasumsikan dalam masalah seperti ini), densitas bersamanya adalah hasil kali: \[ f_{\mathbf{X}}(\mathbf{x}|\theta) = \prod_{i=1}^n f_{X_i}(x_i|\theta) = \prod_{i=1}^n \left[ e^{i\theta - x_i} \cdot \mathbb{I}_{[i\theta, \infty)}(x_i) \right]. \] Ini disederhanakan menjadi: \[ f_{\mathbf{X}}(\mathbf{x}|\theta) = \left( \prod_{i=1}^n e^{i\theta} \right) \left( \prod_{i=1}^n e^{-x_i} \right) \left( \prod_{i=1}^n \mathbb{I}_{[i\theta, \infty)}(x_i) \right). \] Hasil kali pertama: \[ \prod_{i=1}^n e^{i\theta} = e^{\theta \sum_{i=1}^n i} = e^{\theta \cdot \frac{n(n+1)}{2}}. \] Hasil kali kedua: \[ \prod_{i=1}^n e^{-x_i} = e^{-\sum_{i=1}^n x_i}. \] Hasil kali ketiga adalah indikator bahwa semua \(x_i \geq i\theta\), yaitu: \[ \prod_{i=1}^n \mathbb{I}_{[i\theta, \infty)}(x_i) = \mathbb{I}_{\{ x_1 \geq \theta, x_2 \geq 2\theta, ..., x_n \geq n\theta \}}. \] Jadi, densitas bersamanya adalah: \[ f_{\mathbf{X}}(\mathbf{x}|\theta) = e^{\theta \cdot \frac{n(n+1)}{2}} e^{-\sum_{i=1}^n x_i} \cdot \mathbb{I}_{\{ x_1 \geq \theta, x_2 \geq 2\theta, ..., x_n \geq n\theta \}}. \]

---

Langkah 3: Mengekspresikan Kondisi Indikator

Kondisi \(x_i \geq i\theta\) untuk semua \(i\) setara dengan: \[ \theta \leq \frac{x_i}{i} \quad \text{untuk semua } i. \] Ini berarti: \[ \theta \leq \min_i \left( \frac{x_i}{i} \right). \] Jadi, indikator dapat ditulis sebagai: \[ \mathbb{I}_{\{ \theta \leq \min_i (x_i/i) \}}. \] Misalkan \(T = \min_i \left( \frac{X_i}{i} \right)\). Maka indikatornya adalah \(\mathbb{I}_{\{ \theta \leq T \}}\).

---

Langkah 4: Memfaktorkan densitas Bersama Menggunakan Teorema Faktorisasi

Teorema faktorisasi menyatakan bahwa \(T\) adalah statistik cukup untuk \(\theta\) jika kita dapat menulis: \[ f_{\mathbf{X}}(\mathbf{x}|\theta) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x}), \] untuk beberapa fungsi \(g\) dan \(h\).

Dari atas: \[ f_{\mathbf{X}}(\mathbf{x}|\theta) = \left[ e^{\theta \cdot \frac{n(n+1)}{2}} \cdot \mathbb{I}_{\{ \theta \leq T(\mathbf{x}) \}} \right] \cdot \left[ e^{-\sum_{i=1}^n x_i} \right]. \] Misalkan: \[ g(T(\mathbf{x}), \theta) = e^{\theta \cdot \frac{n(n+1)}{2}} \cdot \mathbb{I}_{\{ \theta \leq T(\mathbf{x}) \}}, \] dan \[ h(\mathbf{x}) = e^{-\sum_{i=1}^n x_i}. \]

---

Langkah 5: Kesimpulan

Karena kita dapat memfaktorkan densitas bersama menjadi fungsi yang bergantung pada \(\mathbf{x}\) hanya melalui \(T\) dan fungsi yang hanya bergantung pada \(\mathbf{x}\), berdasarkan teorema faktorisasi, \(T\) adalah statistik cukup untuk \(\theta\).