Jawaban Soal No 3

Diketahui \(g(x)\) adalah sebuah fungsi sebagai berikut

\[ g(x) = \begin{cases} \frac{f(x)}{1-F(x_0)} & x \geq x_0 \\ 0 & x < x_0 \end{cases} \]

dengan asumsi \(F(x_0) < 1\).

Langkah 1: Periksa non-negativitas

Fungsi densitas peluang harus non-negatif untuk semua \(x\). - Untuk \(x < x_0\), \(g(x) = 0 \geq 0\). - Untuk \(x \geq x_0\), \(f(x) \geq 0\) (karena \(f(x)\) adalah pdf) dan \(1 - F(x_0) > 0\) (karena \(F(x_0) < 1\)), sehingga \(\frac{f(x)}{1-F(x_0)} \geq 0\).

Jadi, \(g(x) \geq 0\) untuk semua \(x\).

Langkah 2: Periksa integrasi ke 1 Fungsi densitas peluang harus terintegrasi ke 1 di seluruh domainnya, yaitu: \[ \int_{-\infty}^{\infty} g(x) \, dx = 1. \]

Karena \(g(x) = 0\) untuk \(x < x_0\), kita hanya perlu mengintegrasikan dari \(x_0\) ke \(\infty\): \[ \int_{-\infty}^{\infty} g(x) \, dx = \int_{x_0}^{\infty} \frac{f(x)}{1-F(x_0)} \, dx. \]

Keluarkan konstanta \(\frac{1}{1-F(x_0)}\) dari integral: \[ \int_{x_0}^{\infty} \frac{f(x)}{1-F(x_0)} \, dx = \frac{1}{1-F(x_0)} \int_{x_0}^{\infty} f(x) \, dx. \]

Perhatikan bahwa \(\int_{x_0}^{\infty} f(x) \, dx\) adalah peluang bahwa \(X \geq x_0\), yang sama dengan \(1 - F(x_0)\). Jadi: \[ \frac{1}{1-F(x_0)} \cdot (1 - F(x_0)) = 1. \]

Sehingga: \[ \int_{-\infty}^{\infty} g(x) \, dx = 1. \]

Kesimpulan: Karena \(g(x) \geq 0\) untuk semua \(x\) dan terintegrasi ke 1, maka \(g(x)\) adalah fungsi densitas peluang.