Jawaban Soal No 2

Diketahui:

Variabel acak \(X\) memiliki fungsi densitas: \[ f_X(x; \theta) = \frac{1}{2\theta}, \quad -\theta < x < \theta \] dan 0 lainnya.

---

a) Apakah statistik \(Y = |X|\) cukup untuk \(\theta\)?

Langkah 1: Gunakan Kriteria Faktorisasi (Factorization Criterion)

Statistik \(Y = T(X)\) dikatakan cukup untuk \(\theta\) jika fungsi densitas bersama dapat difaktorisasi sebagai:

\[ f_X(x_1, x_2, ..., x_n; \theta) = g(T(x); \theta) \cdot h(x) \]

Untuk sampel acak berukuran \(n\), tetapi di sini kita hanya memiliki satu observasi \(X\), jadi kita pertimbangkan \(n=1\).

Fungsi densitas \(X\):

\[ f_X(x; \theta) = \frac{1}{2\theta} \cdot I_{(-\theta, \theta)}(x) \]

di mana \(I_A(x)\) adalah fungsi indikator untuk himpunan \(A\).

Perhatikan bahwa \(I_{(-\theta, \theta)}(x) = I_{[0, \theta)}(|x|)\), karena \(-\theta < x < \theta\) setara dengan \(0 \leq |x| < \theta\).

Jadi,

\[ f_X(x; \theta) = \frac{1}{2\theta} \cdot I_{[0, \theta)}(|x|) \]

Sekarang, definisikan \(Y = |X|\). Maka,

\[ f_X(x; \theta) = \frac{1}{2\theta} \cdot I_{[0, \theta)}(y) = g(y; \theta) \cdot h(x) \]

di mana: - \(g(y; \theta) = \frac{1}{2\theta} \cdot I_{[0, \theta)}(y)\) - \(h(x) = 1\) (konstanta)

Jadi, berdasarkan kriteria faktorisasi, \(Y = |X|\) adalah statistik cukup untuk \(\theta\).

---

b) Misalkan \(f_Y(y; \theta)\) adalah fungsi densitas peluang dari \(Y\). Apakah keluarga \(\{f_Y(y; \theta); \theta > 0\}\) memiliki sifat Lengkap? Jelaskan!

Langkah 1: Turunkan fungsi densitas \(Y = |X|\)

Karena \(X\) simetris pada interval \((-\theta, \theta)\), maka \(Y = |X|\) akan memiliki dukungan pada \([0, \theta)\).

Untuk \(y \geq 0\),

\[ F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(|X| \leq y) = P(-y \leq X \leq y) = \int_{-y}^{y} \frac{1}{2\theta} dx = \frac{1}{2\theta} \cdot 2y = \frac{y}{\theta} \]

Jadi, fungsi distribusi kumulatif:

\[ F_Y(y) = \frac{y}{\theta}, \quad 0 \leq y < \theta \]

Maka, fungsi densitas:

\[ f_Y(y; \theta) = \frac{d}{dy} F_Y(y) = \frac{1}{\theta}, \quad 0 \leq y < \theta \]

dan 0 lainnya.

Langkah 2: Periksa kelengkapan keluarga distribusi \(\{f_Y(y; \theta); \theta > 0\}\)

Keluarga distribusi dikatakan lengkap jika untuk setiap fungsi terukur \(u(Y)\) yang memenuhi:

\[ E_\theta[u(Y)] = 0 \quad \text{untuk semua } \theta > 0 \]

maka harus berlaku \(u(Y) = 0\) hampir pasti.

Hitung ekspektasi:

\[ E_\theta[u(Y)] = \int_{0}^{\theta} u(y) \cdot \frac{1}{\theta} dy = \frac{1}{\theta} \int_{0}^{\theta} u(y) dy \]

Diberikan bahwa untuk semua \(\theta > 0\),

\[ \frac{1}{\theta} \int_{0}^{\theta} u(y) dy = 0 \quad \Rightarrow \quad \int_{0}^{\theta} u(y) dy = 0 \]

Langkah 3: Gunakan Teorema Dasar Kalkulus

Definisikan \(U(\theta) = \int_{0}^{\theta} u(y) dy\). Maka \(U(\theta) = 0\) untuk semua \(\theta > 0\).

Diferensialkan kedua sisi terhadap \(\theta\):

\[ \frac{d}{d\theta} U(\theta) = u(\theta) = 0 \quad \text{untuk semua } \theta > 0 \]

Jadi, \(u(y) = 0\) untuk semua \(y > 0\).

Ini berarti bahwa satu-satunya fungsi \(u(Y)\) yang memenuhi \(E_\theta[u(Y)] = 0\) untuk semua \(\theta > 0\) adalah \(u(Y) = 0\) hampir pasti.

---

Kesimpulan

1. Statistik \(Y = |X|\) adalah statistik cukup untuk \(\theta\).
   Hal ini ditunjukkan dengan menggunakan kriteria faktorisasi: \(f_X(x; \theta) = \frac{1}{2\theta} I_{[0, \theta)}(|x|) = g(|x|; \theta) \cdot h(x)\) dengan \(h(x)=1\).

2. Keluarga distribusi \(\{f_Y(y; \theta); \theta > 0\}\) di mana \(f_Y(y; \theta) = \frac{1}{\theta}\) untuk \(0 \leq y < \theta\) memiliki sifat Lengkap.
   Alasannya: jika \(E_\theta[u(Y)] = 0\) untuk semua \(\theta > 0\), maka \(\int_0^\theta u(y) dy = 0\) untuk semua \(\theta > 0\). Dengan mendiferensialkan terhadap \(\theta\), diperoleh \(u(\theta) = 0\) untuk semua \(\theta > 0\), sehingga \(u(Y) = 0\) hampir pasti.