Jawaban Soal No 1

Diketahui:

• Fungsi Densitas Peluang Bersama: \(f_{X,Y}(x, y) = \begin{cases} x e^y & \text{untuk } x \in (0,2), y \in (0, \infty) \\ 0 & \text{untuk } x \text{lainnya} \end{cases}\)

• Transformasi: \(U = X + Y\), \(V = 2Y\)

Ditanyakan: Fungsi densitas bersama \(f_{U,V}(u, v)\).

Langkah 1: Nyatakan \((X, Y)\) dalam bentuk \((U, V)\)

Dari \(V = 2Y\), kita peroleh \(Y = \frac{V}{2}\).

Dari \(U = X + Y\), kita peroleh \(X = U - Y = U - \frac{V}{2}\).

Jadi, transformasi inversnya adalah:

\[ x = u - \frac{v}{2}, \quad y = \frac{v}{2} \]

Langkah 2: Cari Jacobian dari transformasi

Matriks Jacobian adalah:

\[ J = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \]

Determinannya adalah:

\[ |J| = (1)\left(\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{2}\right)(0) = \frac{1}{2} \]

Langkah 3: Tentukan support (daerah definisi) dari \((U, V)\)

Support asli: \(x \in (0,2)\), \(y \in (0, \infty)\).

Dalam bentuk \(u\) dan \(v\):

• \(y = \frac{v}{2} > 0 \implies v > 0\)
• \(x = u - \frac{v}{2} \in (0,2) \implies 0 < u - \frac{v}{2} < 2\)

Jadi: - \(u - \frac{v}{2} > 0 \implies u > \frac{v}{2}\) - \(u - \frac{v}{2} < 2 \implies u < 2 + \frac{v}{2}\)

Karena \(x > 0\) dan \(y > 0\), kita punya \(u > \frac{v}{2} > 0\).

Oleh karena itu, support untuk \((U,V)\) adalah:

\[ v > 0, \quad \frac{v}{2} < u < 2 + \frac{v}{2} \]

Langkah 4: Tulis fungsi densitas bersama \(f_{U,V}(u,v)\)

Menggunakan rumus transformasi:

\[ f_{U,V}(u,v) = f_{X,Y}(x(u,v), y(u,v)) \cdot |J| \]

Substitusikan:

• \(x = u - \frac{v}{2}\)
• \(y = \frac{v}{2}\)
• \(f_{X,Y}(x,y) = x e^y = \left(u - \frac{v}{2}\right) e^{v/2}\)
• \(|J| = \frac{1}{2}\)

Sehingga diperoleh

\[ f_{U,V}(u,v) = \left[ \left(u - \frac{v}{2}\right) e^{v/2} \right] \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \left(u - \frac{v}{2}\right) e^{v/2} \]

Namun, kita juga harus menyertakan support: \[ f_{U,V}(u,v) = \begin{cases} \frac{1}{2} \left(u - \frac{v}{2}\right) e^{v/2} & \text{untuk } v > 0 \text{ dan } \frac{v}{2} < u < 2 + \frac{v}{2} \\ 0 & x \text{lainnya} \end{cases} \]

Langkah 5: Lakukan penyederhanaan sebagai berikut

\[ u - \frac{v}{2} = \frac{2u - v}{2} \]

Jadi,

\[ f_{U,V}(u,v) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2u - v}{2} e^{v/2} = \frac{2u - v}{4} e^{v/2} \]

Dengan demikian, jawaban akhirnya adalah:

\[ \boxed{f_{U,V}(u,v) = \begin{cases} \dfrac{2u - v}{4} e^{v/2} & \text{untuk } v > 0 \text{ dan } \dfrac{v}{2} < u < 2 + \dfrac{v}{2} \\ 0 & \text{selainnya} \end{cases}} \]

Ini adalah fungsi densitas bersama dari \(U\) dan \(V\).