Estimadores eficientes por simulación (Normal, Poisson, Bernoulli)

Objetivo: comparar Var(estimador) vs CRLB y mostrar eficiencia

set.seed(1)

Utilidades

ECM <- function(x, theta) mean( (x - theta)^2 )

ratio_msg <- function(var_emp, crlb){ paste0(“Var empírica / CRLB =”, round(var_emp / crlb, 3), ” (≈ 1 indica eficiencia)“) }

EJERCICIO 1 — Normal(mu, sigma^2 conocida): X̄ eficiente para μ

cat(“=== EJERCICIO 1: Normal(mu, sigma^2 conocida) ===”) mu <- 2 sigma <- 3 # conocida n <- 80 R <- 20000

Estimador candidato: media muestral X̄ (insesgado)

xbar <- replicate(R, mean(rnorm(n, mean = mu, sd = sigma)))

Teoría:

Fisher info por obs: I(μ) = 1/σ^2 ⇒ CRLB = 1 / (n I) = σ^2 / n

crlb_normal <- sigma^2 / n

var_emp <- var(xbar) ecm_emp <- ECM(xbar, mu)

cat(“CRLB teórico:”, round(crlb_normal, 6), “”) cat(“Var empírica(X̄):”, round(var_emp, 6), “”) cat(“ECM empírico(X̄):”, round(ecm_emp, 6), “”) cat(ratio_msg(var_emp, crlb_normal), “”)

Comparación con un insesgado peor (X1) para visualizar ineficiencia

x1 <- replicate(R, rnorm(1, mean = mu, sd = sigma)) cat(“Var empírica(X1):”, round(var(x1), 6), ” (debería ser σ^2)“)

Gráficos ilustrativos

par(mfrow = c(1,2)) hist(xbar, breaks = 40, col = “gray”, main = “Distribución de X̄”, xlab = “X̄”, border = “white”) abline(v = mu, lwd = 2) plot(density(xbar), main = “Densidad de X̄ vs μ”) abline(v = mu, lwd = 2) par(mfrow = c(1,1))

EJERCICIO 2 — Poisson(λ): X̄ eficiente para λ

cat(“=== EJERCICIO 2: Poisson(lambda) ===”) lambda <- 4 n <- 120 R <- 20000

xbar_pois <- replicate(R, mean(rpois(n, lambda)))

Teoría:

Fisher info por obs: I(λ) = 1/λ ⇒ CRLB = 1 / (n I) = λ / n

crlb_pois <- lambda / n

var_emp_p <- var(xbar_pois) ecm_emp_p <- ECM(xbar_pois, lambda)

cat(“CRLB teórico:”, round(crlb_pois, 6), “”) cat(“Var empírica(X̄):”, round(var_emp_p, 6), “”) cat(“ECM empírico(X̄):”, round(ecm_emp_p, 6), “”) cat(ratio_msg(var_emp_p, crlb_pois), “”)

Visual

par(mfrow = c(1,2)) hist(xbar_pois, breaks = 40, col = “gray”, main = “Poisson: X̄”, xlab = “X̄”, border = “white”) abline(v = lambda, lwd = 2) plot(density(xbar_pois), main = “Densidad de X̄ vs λ”) abline(v = lambda, lwd = 2) par(mfrow = c(1,1))

EJERCICIO 3 — Bernoulli(p): X̄ eficiente para p

cat(“=== EJERCICIO 3: Bernoulli(p) ===”) p <- 0.35 n <- 200 R <- 20000

xbar_bern <- replicate(R, mean(rbinom(n, size = 1, prob = p)))

Teoría:

Fisher info por obs: I(p) = 1/[p(1-p)] ⇒ CRLB = p(1-p)/n

crlb_bern <- p * (1 - p) / n

var_emp_b <- var(xbar_bern) ecm_emp_b <- ECM(xbar_bern, p)

cat(“CRLB teórico:”, round(crlb_bern, 6), “”) cat(“Var empírica(X̄):”, round(var_emp_b, 6), “”) cat(“ECM empírico(X̄):”, round(ecm_emp_b, 6), “”) cat(ratio_msg(var_emp_b, crlb_bern), “”)

Visual

par(mfrow = c(1,2)) hist(xbar_bern, breaks = 40, col = “gray”, main = “Bernoulli: X̄”, xlab = “X̄”, border = “white”) abline(v = p, lwd = 2) plot(density(xbar_bern), main = “Densidad de X̄ vs p”) abline(v = p, lwd = 2) par(mfrow = c(1,1))